Trabajo 2: Calculo Diferencial

Trabajo 2: Calculo diferencial

Punto 1

1. ¿Qué valor de n hace que la siguiente función sea continua?

lim┬(x→3^- )⁡〖f(x)〗=lim┬(x→3^+ )⁡〖f(x)〗

lim┬(x→3)⁡〖(2nx-5)〗=lim┬(x→3)⁡〖(3x^2-nx-2)〗

2n(3)-5=3〖(3)〗^2-n(3)-2

6n-5=27-3n-2

6n+3n=27-2+5

9n=20

n=30/9

2. Hallar los valores de a y b, para que la siguiente función sea continua:

lim┬(x→〖-2〗^- )⁡〖f(x)〗=lim┬(x→〖-2〗^+ )⁡〖f(x)〗

lim┬(x→-2)⁡〖(2x^2+1)=lim┬(x→-2)⁡(ax-b) 〗

2(〖-2)〗^2+1=a(-2)-b

9=-2a-b

Ecuación 1: 2a+b=9

lim┬(x→1^- )⁡〖f(x)=lim┬(x→1^+ )⁡f(x) 〗

lim┬(x→1)⁡〖(ax-b)=lim┬(x→1)⁡(3x-6) 〗

a(1)-b=3(1)-6

a-b=-3

Ecuación 2: a-b=-3

Método de eliminación o reducción, ecuación 1 y 2:

2a+b=9

a-b=-3

3a=6

a=6/3=2

2(2)+b=9

4+b=9

b=9-4=5

a=2 y b=5

Punto 2

1. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:

y=x^2-2x-3 para x=1

m=2x-2

m=2(1)-2=0

y=(〖1)〗^2-2(1)-3=-4

La recta tangente será:

y=mx+b

-4=0(1)+b →b=-4

Es decir:

y=-4

2. Si f(x)=x^4-1/x^4 -ln4 halle el valor de f'(1)

f^' (x)=4x^3-((〖(x〗^4*0)-(4x^3*1))/x^8 )-(1/4*0)

f^' (x)=4x^3+(4x^3)/x^8 =4x^3+4/x^5

f^' (1)=4(〖1)〗^3+4/((〖1)〗^5 )=4+4=8

f^' (1)=8

Punto 3

1. Hallar la derivada de las siguientes funciones:

1.1 f(x)=〖sin〗^2⁡2x

f^' (x)=2 sin⁡〖2x*2 cos⁡2x 〗

f^' (x)=4 sin⁡〖2x*cos⁡2x 〗

1.2 f(x)=(lnx^7)/(lnx^3 )

f´(x)=(lnx^3*((1/x^7 )*7x^6 )-lnx^7*((1/x^3 )*3x^2))/〖(lnx^3)〗^2 =((7lnx^3)/x-(3lnx^7)/x)/〖(lnx^(3))〗^2

f^' (x)=((7lnx^3-3lnx^3)/x)/〖(lnx^3)〗^2

f^' (x)=(7lnx^3-3lnx^7)/(x〖(lnx^3)〗^2 )

1.3 f(x)=x/e^x

f^' (x)=((e^x*1)-(x*e^x ))/(e^x )^2 =(e^x-(xe^x ))/(e^x )^2

f^' (x)=(e^x (1-x))/〖(e^x)〗^2

f^' (x)=(1-x)/e^x

Punto 4

1. Derivadas de orden superior

1.1 Hallar la tercera derivada de: f(x)=2 sin⁡2x

f^' (x)=2(2 cos⁡〖2x)=4 cos⁡2x 〗

f^'' (x)=4(-2sin⁡〖2x)=-8 sin⁡2x 〗

f^''' (x)=-8(2 cos⁡〖2x)=-16 cos⁡2x 〗

1.2 Hallar la segunda derivada de: f(x)=e^x lnx

f^' (x)=〖(e〗^x*1/x)+(lnx*e^x)=e^x/x+(e^x*lnx)

f^'' (x)=(xe^x-1*e^x)/x^2 +(e^x*1/x+lnx*e^x )=(e^x (x-1))/x^2 +e^x lnx+e^x/x

Punto 5

1. Usando L’Hopital hallar el límite de: 〖lim〗┬(x→2)⁡〖(x^2+2x-8)/(x^2-x-2)〗

lim┬(x→2)⁡〖(x^2+2x-8)/(x^2-x-2)〗=0/0

lim┬(x→2)⁡〖(2x+2-0)/(2x-1-0)〗=(2x+2)/(2x-1)=(2(2)+2)/(2(2)-1)=6/3=2

Punto 6

1. De la curva f(x)= x^2-x, hallar:

a. Las coordenadas del punto crítico.

b. Los puntos de inflexión si los hay.

f(x)=x^2-x=(〖1/2)〗^2-(1/2)=-1/4

f^' (x)=2x-1

2x-1=0

x=1/2

Coordenadas del punto crítico (1/2;-1/4)

f^'' (x)=2

No hay punto de inflexión

Punto 7

1. Aplicación de derivada. Problemas de optimización.

1.1 En la construcción de una obra se debe hacer un pedido de cemento, ¿Qué cantidad de bultos (x) debo solicitar a la fabrica, tal que el costo total de ese pedido sea el mínimo?

Fórmula del costo total del pedido C(x)

C_T (x)=(100.000.000)/x+100x+50

C^'

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