Trabajo Col 2 Calculo

INTRODUCCION

Por medio del desarrollo de este taller se busca aclarar y practicar los conceptos adquiridos durante el estudio y práctica correspondiente a la Unidad 2 del módulo de Cálculo Integral

En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F^,-f.

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo .Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que diferente entre sí en una constante. El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integral indefinida y es por tanto el inverso de una derivación, las integrales indefinidas están relacionadas integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

Esperamos que las respuestas dadas y el paso a paso de cada uno de los puntos propuestos sean los adecuados.

16. Realice un (1) ejercicio de libre escogencia solucionado paso a paso para cada uno de las siguientes lecciones.

LECCION 19

1. Solución

INTEGRALES INMEDIATAS CON SUSTITUCIÓN

∫▒(x+2)/(4-x^2 ) dx

Se separan los términos por facilidad

∫▒x/√(4-x^2 ) dx + ∫▒〖2/√(4-x^2 ) dx〗

1 2

Haciendo sustitución de variables en 1

u=4-x^2→du=-2xdx→-du/2x=dx

La integral 2 es inmediata

∫▒x/√u∙(-du/2x)+∫▒2/√(4-x^2 ) dx

-1/2 ∫▒du/√u+2∫▒dx/√(4-x^2 )

-1/2∙u^(1⁄2)/(1/2)+2〖sen〗^(-1) (x/2)+c

=(-2)/2∙u^(1⁄2)+2〖sen〗^(-1) (x/2)+c

Se reemplazan los valores reales de u

=-√(4-x^2 ) + 2〖sen〗^(-1) (x/2)+c

R/ ∫▒〖(x+2)/√(4-x^2 ) dx=2〖sen〗^(-1) 〗 (x/2)-√(4-x^2 )+c

2.

∫▒〖x〖(x^2+2)〗^2 〗 dx

=> se sustituye u = x^2+2 y du = 2xdx => ∫▒〖x〖(x^2+2)〗^2 〗 dx = 1/2 ∫▒〖u^2 du〗 => ∫▒u^2 = u^3/3

=>1/2 ∫▒〖u^2 du〗 = 1/2 * u^3/3 = u^3/6 =>Se vuelve a sustituir u = x^2+2 => u^3/6 = 〖(x^2+2)〗^3/6

=> ∫▒〖x〖(x^2+2)〗^2 〗 dx = RTA x^6/6 + x^4 + 2x^2 + constante

LECCION 25 Integración por partes

∫▒LnX/X^2 dx= ∫▒〖X^(-2) Lnx.dx〗 Se debe definir quién va a ser U

ILATE= CONSISTE EN CLASIFICAR LAS 2 FUNCIONES EN LAS SIGUIENTES CATEGORIAS

I=Inversa trigonométricas

L=Logarítmica Lnx=U

A= Algebraica X^(-2)=dv

T=Trigonométrica

E=Exponencial

∫▒LnX/X^2 dx= ∫▒〖X^(-2) Lnx.dx= ∫▒〖Lnx.X^(-2) 〗〗 dv=U=Lnx¬¬¬ entonces du/dx= 1/x=du=1/x.dx dv=x^(-2) dx entonces ∫▒〖dv=∫▒〖x^(-2) dx=V=x^(-1)/(-1)〗〗=(-1)/x

∫▒〖U.dv=U.V-∫▒〖V.du〗〗

∫▒〖Lnx.X^(-2) dx=Lnx.((-1)/x)-∫▒(-1)/x〗 x 1/x dx=∫▒Lnx/x^2 dx=(-Lnx)/x+∫▒〖x^(-2) dx=-Lnx/X〗+x^(-1)/(-1)+C Entonces organizamosla funcion=-Lnx/x-1/x+C= (-Lnx-1)/x+C

2.

∫▒x^2 Lnx dx

Se lleva la integral anterior a la forma:

∫▒〖udv=u∙v-∫▒vdu〗

Por lo tanto

u=Lnx → du=1/x dx

dv=x^(2 )→ ∫▒〖dv=∫▒x^2 〗 → v=x^3/3

Sustituyendo estos valores

∫▒〖x^2 Lnx dx = x^3/3〗 Lnx -∫▒x^3/3∙dx/x

Resolviendo

x^3/3 Lnx-1/3 ∫▒x^2 dx →x^3/3 Lnx-1/3∙x^3/3+c

R/(∫▒x^2 Lnx) dx=x^3/3 Lnx-x^3/9+c

LECCION 26 INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES

Sea (fx)=1/(x^2+x-6)=Lo 1ero que se realiza es factorizar el denominador el cual nos quedaria f(x)=1/(x¬+3)(x-2) =A/(x+3)+B/(x-2) Tenemos entonces 2 factores lineales no repetidos

Integración por fracciones parciales

∫▒(cos⁡(y))/(〖sen〗^2 (y)+sen(y)-6) dy

u=sen(y) du=cos⁡(y)dy

∫▒du/(u^2+u-6)

1/(u^2+u-6)=1/((u+3)(u-2))=A/((u+3))+B/((u-2))

A(u-2)+B(u+3)=1

Au-2A+Bu+3B=1

u(A+B)+(-2A+3B)=1

∴A+B=0 ⟹A=-B

-2A+3B=1⇒2B+3B=1⟹5B=1⟹B=1/5

⟹A=-1/5

∫▒[(-1)/(5(u+3))+1/(5(u-2))] du=(-1)/5 ln⁡(u+3)+1/5 ln⁡(u-2)+c

(-1)/5 ln⁡(sen(y) +3)+1/5 ln⁡(sen(y) -2)+c

∫▒(cos⁡(y))/(〖sen〗^2 (y)+sen(y)-6) dy=1/5 ln⁡((sen(y) -2)/(sen(y) +3))+c

17. ∫_8^20▒(t^2/6+4t)dt

∫_8^20▒〖t^2/6

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