Trabajo Trigonometria Unad

1. De la siguiente elipse 25x2 + 4y2 = 100. Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vértices

d. Eje menor y eje mayor

e. Gráfica

Lo primero es transformar la ecuación dada a la forma canónica, lo cual se consigue dividiendo todo por 100.

25100x2+4100y2=100100

x24+y225=1

Como a2=25 entonces el eje mayor esta sobre el eje y, igual que los focos. Se puede decir que la elipse es vertical.

a2=25 entonces a=5

b2=4 entonces b=2

Para hallar los focos es por medio de la expresión c2=a2-b2

c=52-42=25-4=±21

a. Centro: de acuerdo a la ecuación canónica C(0,0)

b. Focos: F0,c y F'0,-c=F0,21 y F'(0,-21)

c. Vértices mayores: V0,a y V'0,-a=V0,5 y V'(0,-5)

Vértices menores: ub,0 y u'-b,0=u2,0 y u'(-2,0)

d. Eje mayor. 2a=25=10

Eje menor. 2b=22=4

e. Gráfica

2. Analice la siguiente hipérbola 9x2 – 16y2 – 18x – 64y – 199 = 0. Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vértices

d. Asíntotas

e. Gráfica

Lo primero es transformar la ecuación dada a la forma canónica, para esto se agrupan las variables:

9x2-18x-16y2+64y=199

Factorizamos para obtener la variable al cuadrado con coeficiente uno:

9x2-2x-16y2+4y=199

Completamos cuadrados en ambas variables:

9x2-2x+(22)2-16y2+4y+(42)2=199+9(22)2-16(42)2

9x2-2x+1-16y2+4y+4=199+9-64

Desarrollando los trinomios cuadrados perfectos:

9(x-1)2-16(y+2)2=144

Dividimos todo por 144 para que el cociente sea igual a 1.

9144(x-1)2-16144(y+2)2=144144

(x-1)216-y+229=1

De la ecuación:

(x-h)2a2-y-k2b2=1

a2=16 entonces a=4

b2=9 entonces b=3

h=1 y k=-2

Como el valor mayor esta sobre la variable x, el eje transverso esta sobre x

Para hallar los focos es por medio de la expresión c2=a2+b2

c=42+32=16+9=25=5

a. Centro: C h,k=C(1,-2)

b. Focos: Fh+c,k y F'h-c,k=F6,-2 y F'-4,-2

c. Vértices: Vh+a,k y V'h-a,k=V5,-2 y V'-3,-2

d. Asíntotas:

y-k=bax-1

y--2=34x-1

y=34x-34-2

y=34x+54

y-k=-bax-1

y--2=-34x-1

y=-34x+34-2

y=-34x-54

e. Gráfica

3. Analice la siguiente ecuación x2 + y2 – 8x – 7y = 0. Determine:

a. Centro

b. Radio

c. Gráfica

Lo primero es transformar la ecuación dada a la forma canónica, para esto se agrupan las variables:

(x2-8x)+(y2-7y)=0

Completamos cuadrados en ambas variables:

(x2-8x+(82)2)+(y2-7y+(72)2)=0

(x2-8x+(82)2)+(y2-7y+(72)2)=(82)2+(72)2

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