Transformaciones Lineales

Comenzamos definiendo una tranformación lineal. Ejemplos típicos son la derivada y la integral, al igual que las proyecciones. Definimos el kernel y rango de una transformación lineal T : V  W y los denotamos por N(T) y R(T) respectivamente. Es un ejercicio verificar que N(T)  V y R(T)  W. Definimos nulidad(T) = dim(N(T)) y rango(T) = dim(R(T)).

TEOREMA 2.1 Si T : V  W es una transformación lineal, entonces V es dimensionalmente finito si y sólo si N(T) y R(T) son dimensionalmente finitos, y en este caso,

dim(V) = nulidad(T) + rango(T).

Demostración

Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un campo F, definimos

L(V, W) = {T : V  W | T es una transformación lineal}.

Si T, U  L(V, W) y a  F, definimos aT + U : V  W como (aT + U)(x) = aT(x) + U(x) para toda x  F. Es un ejercicio verificar que aT + U es una transformación lineal y que L(V, W), junto con estas operaciones de suma y de multiplicación por escalares, es un espacio vectorial sobre F.

Definimos el que una función fuera inyectiva, sobre y biyectiva. Es un ejercicio demostrar que para una transformación lineal T : V  W, las siguientes condiciones son equivalentes:

• T es inyectiva

• N(T) = {0} (es decir, nulidad(T) = 0)

• Para todo S  V, S es linealmente independiente si y sólo si T(S)  W es linealmente independiente

También se deja como ejercicio el verificar que si V y W son dos espacios vectoriales con la misma dimensión (finita) y T : V  W es una transformación lineal, entonces T es inyectiva o sobre si y sólo si es biyectiva.

Una transformación lineal es una función que preserva la estructura algebraica de espacio vectorial, por lo que no toda función entre espacios vectoriales es una transformación lineal. De hecho, es sencillo encontrar funciones inyectivas, sobre, y biyectivas que no son transformaciones lineales. Esto motiva las definiciones de monomorfismo, epimorfismo eisomorfismo.

LEMA 2.2 Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F. Supongamos que V es dimensionalmente finito y que  = {x1, ..., xn} es una base de V. Entonces para todo {y1, ..., yn}  W, existe una unica transformación lineal T : V  W tal que T(xi) = yi para toda i = 1, ..., n.

Demostración

TEOREMA 2.3 En la categoría de los espacios vectoriales dimensionalmente finitos, la dimensión es un invariante completo de isomorfismo. Es decir, para cualesquiera dos espacios vectoriales dimensionalmente finitos V y W sobre un campo F, existe un isomorfismo entre V y W si y sólo si dim(V) = dim(W).

Demostración

Sea V un espacio vectorial dimensionalmente finito sobre un campo F y sea  = (x1, ..., xm) una base ordenada de V. Para cada x  V, existen escalares únicos a1, ..., am  F tales que x = a1x1 + ... + amxm. Definimos al vector coordenado de x relativo a  como

[ x ] = ( a1

:

am

),

Es fácil ver que el mapeo x | [ x ] constituye un isomorfismo  : V  Mn x 1(F).

Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F,  = {x1, ..., xm} una base ordenada de V y  = {y1, ..., xn} una base ordenada de W. Para cada T L(V, W), definimos la matriz asociada a T con respecto a las bases ordenadas  y  como

[T] 



= ( [T(x1)] ... [T(xm)] ).

Por otro lado, dada una matriz A  Mn x m(F), la función LA : Fm  Fn definida por LA(x) = Ax, es una transformación lineal (ejercicio).

TEOREMA 2.4 Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F,  = {x1, ..., xm} una base ordenada de V y  = {y1, ..., yn} una base ordenada deW. Entonces el mapeo T | [T] constituye un isomorfismo  : L(V, W)  Mn x m(F). Más aún, para toda A  Mn x m(F), se tiene que -1(A)  L(V, W) es tal que [-1(A)] = A.

Demostración

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F. Si T  L(V, W), entonces existe una matriz asociada a T por cada par de bases ordenadas  y  de V y W respectivamente. El siguiente teorema (cambio de coordenadas) establece la relación entre estas matrices.

TEOREMA 2.5 Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F. Si , ' son dos bases ordenadas de V y  ' son dos bases ordenadas de W, entonces existe una matriz invertible Q tal que . Entonces el mapeo T | [T] constituye un isomorfismo  : L(V, W)  Mn x m(F). Más aún, para toda A  Mn x m(F), se tiene que-1(A)  L(V, W) es tal que [-1(A)] = A.

Aplicación lineal

Para otros usos de este término, véase Función lineal (desambiguación).

No debe confundirse con función lineal, transformación lineal u operador lineal.

En matemáticas una aplicación lineal es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar.

En álgebra abstracta y en álgebra lineal una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.

Índice

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• 1 Definición

• 2 Ejemplos

• 3 Propiedades de las transformaciones lineales

• 4 Cómo formar nuevas transformaciones lineales a partir de otras dadas

• 5 Teoremas básicos de las transformaciones

• 6 Clasificación de las transformaciones lineales

• 7 Matriz asociada a una transformación lineal

• 8 Véase también

• 9 Referencias

o 9.1 Enlaces externos

Definición[editar]

Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal

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