TRANSFORMACIONES LINEALES

TRANSF

INDICE

*Introducción

*Transformaciones lineales------------------------------------ (1)

*Núcleo e imagen de

Transformación lineal-------------------------------------------- (2)

*Composición de transformaciones lineales-------------- (3)

*Espacios vectoriales de dimensión finita----------------- (3)

*Teorema de la dimensión------------------------------------- (3)

*Ejercicios---------------------------------------------------------- ( )

*Conclusión

*Bibliografía

INTRODUCCION

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Transformaciones lineales

Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en algebra Lineal. Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción de estos espacio).

Definiciones, ejemplos y propiedades básicas

en esta sección introduciremos la noción de transformación lineal, así como también ciertas nociones básicas asociadas a estas funciones.

*Transformaciones lineales

Sean (V, +; v ) y (W,+w ; w ) dos K-espacios vectoriales. Una función

f : V e llama una transformación lineal (u homomorfismo o simplemente morfismo) de V en W si cumple:

i) f (u + v u’ ) = f(u) + w f(u’)

si f:V W Es una transformación lineal, entonces f](0v) =0w

En efecto, puesto que f(0V ) = f(0V + 0V )

Ejemplos.

1. Sean V y W dos K-espacios vectoriales. Entonces 0: V definida por 0(x) = w0 es una transformación lineal

2. Si V es un K-espacio vectorial, id : V V definida por id (x) = x es una transformación lineal.

3. Sea A E K (m.n) .Entonces FA: K (m) definida por FA(x) =(ai

transformación lineal.

4. f : K[X] K[X], F(P) = P’ es una transformación lineal.

Como hemos mencionado al comienzo, las transformaciones lineales recetan la estructura de K- -espacio vectorial. Esto hace que en algunos casos se recete la estructura de subespacio, por ejemplo en las imágenes de subespacio por transformaciones lineales

Se deduce inmediatamente que una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que debido a esto, una transformación lineal queda unívocamente determinada por los valores en los elementos de una base cualquiera de su dominio.

Sean V y W dos K- espacios vectorial y sea f: VW una transformación lineal. Se dice que:

1_ f es un monomorfismo si f es inyectiva.

2_ f es un epimorfismo si f es suyectiva.

3_ f es un isomorfismo si f es biyectiva.

En algunos casos consideraremos transformaciones lineales de un K-espacio vectorial en si mismo:

Sea V un K-espacio. Una transformación lineal f:V V se llama

un endomorfismo de V . Si f es un

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