Transformaciones Lineales

TRANSFORMACIONES LINEALES

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales.

Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal.

Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios.

Es también una aplicación lineal llamada también (función lineal u operador lineal), el cual es aplicable entre dos espacios vectoriales, donde se emplean suma de vectores y producto escalar o se define como una función que se representa en el plano cartesiano como una línea recta.

Definición:

Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V en W ( T:VW) es una función que asigna a cada vector vV un vector único T(v)W y que satisface :

A.1) v1 ,v2V [T(v1+v2)=T(v1)+T(v2)]

A.2)R vV[T(v)= T(v)]

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y co-dominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝,

T (u+v)= Tu+Tv

T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar.

Tres notas sobre notación.

Se escribe T: V → W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.

Se escriben indistintamente Tv y T (v). denotan lo mismo; las dos fases se leen “T de v”. eso es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”.

Muchas de las definiciones y teoremas se cumplen también para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).

Propiedades:

Las propiedades de una transformación lineal son las siguientes:

Sea T:VW una transformación lineal , entonces se cumple que :

T(0V)=0W

v1,v2V[T(v1-v2)=T(v1)-T(v2)]

v1,v2 ,…, vnV , 1,2,…, n [T(1v1 +2v2 +…+nvn)=1T(v1)+2 T(v2) +…+n T(vn)]

Núcleo e imagen de una transformación lineal

A una transformación lineal f : V  W podemos asociarle un subespacio de V , llamado su núcleo, que de alguna manera mide el tamaño de la pre-imagen por f de un elemento de su imagen. En particular, conocer este subespacio nos permitirá determinar si f es inyectiva.

Definición:

Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f: V  W una transformación lineal. Se llama núcleo de f al conjunto Nu(f) = { u  V / f(u) = 0} = f-1({0}).

Representación matricial de una transformación lineal

A toda transformación línea f: v →w de espacios vectoriales de dimensiones finitas n y m, respectivamente, se le puede asociar a una matriz A  M mxn,

tal que f(x) = Ax, donde x =

Recíprocamente a toda matriz se le puede asociar con una transformación lineal:

f: v → w

Esto es de extrema utilidad considerando que:

DimIm (f) = Rango f = Rango A

Isomorfismo

Sea T:VW

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