Trigonometria

TRIGONOMETRIA

ORIGEN DE LA TRIGONOMETRÍA

La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han requerido el cálculo de distancias cuya medición directa no resultaba posible. Otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, ya los antiguos babilonios recurrieron a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos.

La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos.

El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras.

ÁNGULOS

Asociada tradicionalmente a un capítulo tan importante de la actividad humana como es el de la observación astronómica, la noción de ángulo es básica en geometría (y obviamente en trigonometría). Su aparente sencillez no ha de ocultar el hecho de que el tratamiento de los ángulos como magnitudes susceptibles de ser medidas encierra una considerable complejidad; en efecto, un sistema de medición de los ángulos que permita compararlos eficazmente con otras magnitudes geométricas, como la longitud o la superficie, requiere tratarlos como magnitudes lineales, lo que sólo se consigue adecuadamente asociándolos a arcos de circunferencia. Pero el cálculo de la longitud de la circunferencia hace intervenir una magnitud irracional, el número pi.

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.

Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:

Grado sexagesimal (°)

Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal.

Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').

Radián (rad)

Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.

La longitud de la circunferencia en función de r, es 2 r, siendo r el radio de la circunferencia.

La longitud de la circunferencia en grados es 360º.

Entonces, existe una equivalencia entre ambas medidas que se mantendrán para las medidas de cualquier ángulo; esto es:

medida en radianes de la circunferencia / medida en grados de la circunferencia es igual a:

medida en radianes de un ángulo a cualquiera / medida en grados del mismo ángulo.

2 r / 360° = r / 180º

CLASIFICACION DE LOS ÁNGULOS

• Agudos

Son aquellos ángulos que miden más de 0º pero menos de 90º. Son característicos de los triángulos acutángulos.

• Rectos

Son aquellos ángulos que miden 90º. Son característicos de los triángulos rectángulos.

• Obtusos

Son aquellos ángulos que miden más de 90º pero menos de 180º. Son característicos de los triángulos obtusángulos.

TRIÁNGULOS

El triángulo es el polígono más simple y también el más fundamental, ya que cualquier polígono puede resolverse en triángulos; por ejemplo, trazando todas las diagonales a partir de un vértice, o más en general, uniendo todos los vértices con un mismo punto interior al polígono. Por otra parte, un tipo particular de triángulos, los triángulos rectángulos, se caracterizan por satisfacer una relación métrica (el llamado teorema de Pitágoras) que es la base de nuestro concepto de medida de las dimensiones espaciales.

I. CLASIFICACIÓN POR SUS LADOS

a. Isósceles

Se llama triángulo isósceles al que tiene dos lados iguales; el tercer lado se llama base. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales; recíprocamente, si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos a dichos ángulos también serán iguales.

b. Equilátero

Se llama triángulo equilátero al que tiene los tres lados iguales. Como un triángulo equilátero es isósceles para cualquier par de lados, resulta que los tres ángulos de un triángulo equilátero son iguales; recíprocamente, si los tres ángulos de un triángulo son iguales, el triángulo es equilátero. Cabe mencionar que al triángulo que tiene los tres ángulos iguales se le llama, como se acaba de mencionar, triángulo equilátero, pero también es llamado equiángulo.

c. Escaleno

Cuando

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