Unidad 4 Algebra

ESPACIOS VECTORIALES.

Definición y Propiedades Básicas

Sea V un conjunto no vacío en el cual se han definido dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por escalar (dados los elementos u y v de V y un escalar ¸ de R, la suma de u y v la denotamos u + v y la multiplicación por escalar de ¸ por u la denotamos ¸u). Si las siguientes propiedades o axiomas se satisfacen para todo u, v y w de V y para todo par de escalares ® y ¯ de R, entonces se dice que V es un espacio vectorial real y sus elementos son llamados vectores.

1. u + v ∈ V. Propiedad clausurativa para la suma.

2. u + v = v + u. Propiedad conmutativa para la suma.

3. (u + v) + w = u + (v + w). Propiedad asociativa para la suma.

4. Existe un único elemento 0 ∈ V, tal que u + 0 = u, para todo u ∈ V. Propiedad modulativa para la suma.

5. Para cada u ∈ V, existe un único elemento −u ∈ V, tal que u+ (−u) = 0. Existencia del opuesto para la suma.

6. ®u ∈ V. Propiedad clausurativa para la multiplicación por escalar.

7. ® (u + v) = ®u + ®v. Propiedad distributiva respecto la suma de vectores.

8. (® + ¯) u = ®u + ¯u. Propiedad distributiva respecto la suma de escalares.

9. ® (¯u) = (®¯) u.

10. 1u = u.

Observemos que un espacio vectorial V se define como un conjunto de elementos en el cual están definidas dos operaciones suma y producto por escalar que satisfacen las 10 propiedades anteriores y que no se especifica la naturaleza de los elementos de V ni de las operaciones. Con frecuencia, las operaciones tendrán la naturaleza de la suma y multiplicación que nos es familiar, pero en otros casos no.

Ejemplos:

Ejemplo 1. Sea P2 el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a 2. Es decir,

P2 = {p(x) = a0 + a1x + a2x2 : ai E R, i = 0, 1, 2}.

Si definimos la suma y el producto por escalar como se hace habitualmente; esto es, dados

p(x) = a0 + a1x + a2x2 y q(x) = b0 + b1x + b2x2,

Dos polinomios de grado menor o igual a 2, y ß, un escalar, entonces

p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2

ßp(x) = (ßa0) + (ßa1)x + (ßa2)x2.

Ejemplo 2.

Sea F[0; 1] el conjunto de todas funciones de valor real definidas en el intervalo [0; 1]. Si definimos suma y multiplicación por escalar como lo hacemos habitualmente en cálculo: dadas f y g, dos funciones de valor real definidas en [0; 1], tenemos que

(f + g)(x) = f(x) + g(x) y (ßf)(x) = ß[f(x)].

Sub espacio Vectorial

Definición 2 [Sub espacio vectorial]. Sea V un espacio vectorial y sea H un subconjunto de V. Si H es espacio vectorial con los mismos escalares y las mismas operaciones que V, decimos que H es un sub espacio de V.

Una de las ventajas del concepto de sub espacio es que para demostrar que un subconjunto de un espacio vectorial es en sí mismo un espacio vectorial, no es necesario mostrar que se satisfacen los 10 axiomas, como vimos en el Ejemplo 5; basta con verificar solo dos de los 10 axiomas de la definición, como lo establece el siguiente teorema.

Teorema 1 [Caracterización de sub espacio].

Sea V un espacio vectorial y H un subconjunto no vacío de V. H es un sub espacio vectorial de V, si y solo si, los elementos de H satisfacen las propiedades clausurativas para la suma y el producto por escalar (Axiomas

1 y 6).

Demostración: Supongamos que H es un sub espacio vectorial de V, entonces H es un espacio vectorial, lo que implica que H satisface los 10 axiomas de la definición, en particular, el 1 y el 6.

Supongamos ahora que H satisface los Axiomas 1 y 6. Teniendo en cuenta que los elementos de H también son elementos de V, H satisface también los Axiomas 2, 3, 7, 8, 9 y 10 (en otras palabras, H hereda estas Propiedades de V). Nos queda por verificar únicamente los Axiomas 4 y 5. Sea u ∈ H. Por el Axioma 6,

¸u ∈ H para todo ¸, en particular para ¸ = 0 y para ¸ = −1. Así que el elemento nulo, 0u = 0, y el opuesto de u, (−1) u = −u, están en H.

Así, en el Ejemplo 5, para probar que H es un sub espacio vectorial de R4, bastaba con verificar sólo los axiomas 1 y 6.

Ejemplo 1. Demuestre que Dn, el conjunto de matrices diagonales de tamaño n×n, es un espacio vectorial.

Sabiendo que Mn×n, el conjunto de las matrices de tamaño n × n, es un espacio vectorial, que Dn es no vacío y que Dn α Mn×n, por el teorema anterior, basta con verificar los Axiomas 1 y 6. Pero claramente, al sumar dos matrices diagonales y al multiplicar una matriz diagonal por un escalar, obtenemos de nuevo matrices diagonales. Por el Teorema 1, Dn es un subespacio vectorial de Mn×n y por lo tanto, un espacio vectorial

Ejemplo 2. Sea P2 el conjunto de polinomios de grado menor o igual a 2. Demostremos que

H = {p(x) = a0 + a1x + a2x2 : a0 = 0, a1, a2 ∈ R}.

es un espacio vectorial.

Sabiendo que P2 es un espacio vectorial y que H ⊂ P2, sean p(x) = a0 +a1x+a2x2 y q(x) = b0 +b1x+b2x2 dos polinomios de H. Entonces a0 = 0 y b0 = 0, y por tanto, a0 + b0 = 0 y ¸a0 = 0.

Así que

p(x) + q(x) = (a0 + a1x + a2x2) + (b0 + b1x + b2x2) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2

y

¸p(x) = ¸(a0 + a1x + a2x2) = (¸a0) + (¸a1)x + (¸a2)x2 son polinomios de H; por el Teorema 1, H es un subespacio vectorial de P2 y por lo tanto, un espacio

vectorial.

Combinación lineal, independencia lineal.

Combinación lineal.

Se establece la relación entre el problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales y el problema de determinar si un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores.

El resultado

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