Unidad Temática 4 álgebra Lineal

Unidad Temática 4

ESPACIOS VECTORIALES

Un espacio vectorial real V es un conjunto no vacio de objetos, llamados vectores, en el están definidas dos operaciones llamadas suma y multiplicación por escalares (números reales), sujetas a los 10 axiomas (o reglas) que se enlistan a continuación:

Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores u,v y w en V y todos los escalares c y d

Axiomas de un Espacio Vectorial

1. La suma de u y v denotada u+v está en V

2. u+v=v+u

3. (u+v)+w=u+(v+w)

4. Existe un vector cero 0 en V tal que u+0=u

5. Para cada u en V existe un vector-u en V tal que u+(-u)=0

6. El múltiplo escalar de u por c denotado por cu está en V

7. c(u+v)=cu+cv

8. (c+d)u=cu+cd

9. c(du)=(cd)u

10.1u=u

Mediante estos axiomas, es posible demostrar que el vector cero del axioma 4 es único, y que el vector -u, llamado el negativo de u, del axioma 5 es único para cada u en V.

Ejemplo 1:

Un espacio vectorial trivial. Sea V={0} es decir, V consiste sólo en el número 0. Como: 0+0=1∙0=0+(0+0)+0=0, se ve que V es un espacio vectorial.

Ejemplo 2:

Un conjunto que no es espacio vectorial. Sea V={1} Es decir, V consiste sólo en el número 1. Éste no es un espacio vectorial ya que viola el axioma1. Para ver esto, basta con observar que 1+1=2∉V. También viola otros axiomas, sin embargo, con sólo demostrar que viola al menos uno, de los diez axiomas; queda probado que V no es un espacio vectorial.

Ejemplo 3:

Sea V el conjunto de todas las flechas (segmentos de líneas dirigidos) presentes en el espacio tridimensional; dos de estas flechas se consideran iguales si tienen la misma longitud y apuntan en la misma dirección. La suma se define por medio de la regla del paralelogramo y para cada v en V se define cv como la flecha cuya longitud es |c| veces la longitud de v, y apunta en la misma dirección de v si c≥0 y en la dirección opuesta es caso contrario.

En la siguiente figura vemos un ejemplo de espacio vectorial.

La definición de V es geométrica, y utiliza conceptos de longitud y dirección.

No intervienen coordenadas xyz.

Una flecha de longitud cero es un solo punto y representa el vector cero.

El negativo de v es (-1)v.

Así, los axiomas 1, 4, 5, 6 y 10 son evidentes; los demás verifican geométricamente.

Por ejemplo las siguientes figuras:

Espacio K^n

Sea k un cuerpo arbitrario. La notación K^n se usa frecuentemente para designar el conjunto de todas las n de elementos de k. Aquí K^n se ve como un espacio sobre k, en el que la vectorial y el producto por un escalar de definen según:

(a_1,a_2……..a_n )+(b_1,b_2………b_n )=〖(a〗_1+b_1,a_2+b_2+⋯+a_n,b_n)

k(a_1,a_2……..a_n )=〖(ka〗_1+〖ka〗_2+⋯+ka_n)

y el opuesto de un vector se define por.

-(a_1,a_2……..a_n )=〖(-a〗_1-,a_2……..〖-a〗_n)

Espacio de Matrices M_mn

La notación M_(m*n)o simplemente M, se utilizará para designar el conjuntos de todas las matrices mxn sobre un cuerpo arbitrario.

〖kM〗_(m*n) es un espacio vectorial sobre k con respecto a las operaciones usuales de suma matricial y producto por un escalar.

Espacio de Polinomios P(t)

Denotemos por P(t) el conjunto de todos los polinomios

a_0+a_1 t+a_2 t^2+⋯……a_n t^n

Con coeficientes ai en algún cuerpo kP(t) es un espacio vectorial sobre k con respecto a las operaciones usuales de suma de polinomios y producto de un polinomio por una constante.

SUBESPACIO

Un subespacio de un espacio vectorial V es un subconjunto H de V que tiene tres propiedades:

El vector cero de V está en H

H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la suma u+v está en H.

H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.

Las propiedades (a), (b) y (c) garantizan que un subespacio H de V es en si mismo un espacio vectorial, bajo las operaciones de espacio vectorial ya definidas en V.

Para verificar esto, observe que las propiedades (a), (b) y (c) son los axiomas 1, 4 y 6.

Los axiomas 2,3 y del 7 al 10 son verdaderos de manera automática en H porque se aplican a todos los elementos de V, incluidos aquellos que están en H. El axioma 5 también es verdadero en H, porque si u está en H, entonces (-1)u está en H según (c).

Así, todo subespacio es un espacio vectorial. De manera reciproca, todo espacio vectorial es un subespacio (de sí mismo o posiblemente de espacios mayores).

El término subespacio es usado cuando se consideran por lo menos dos espacios, con uno dentro de otro y la frase subespacio de V como el espacio más grande.

Ejemplos:

El conjunto que consta de únicamente el vector cero en un espacio vectorial V es un subespacio de V, llamado subespacio cero y que se escribe como {0}

Sea P el conjunto de todo los polinomios con coeficientes reales, con operaciones en P definidas igual que para las funciones. Entonces P es un subespacio del espacio de todas las funciones que producen un valor real definidas en R .También, para cada n≥0. P_n es un subespacio de P, porque P_n es un subconjunto de P que contiene al polinomio cero, la suma de dos polinomios en P_n y un múltiplo escalar de un polinomio en P_n también está en P_n.

Un plano en R^3 que no pasa por el origen no es un subespacio de R^3, porque el plano no contiene el vector cero de R^3. De manera similar, una línea en R^2 que no pasa por el origen, como en la siguiente figura, no es un subespacio de R^2.

Un subespacio generado por un conjunto

Teorema 1:

Si v_1……v_p están en un espacio vectorial V, entonces Gen{v_1……v_p } es un subespacio de V.

A Gen{v_1……v_p }se le llama el subespacio generado por {v_1……v_p }. Dado cualquier subespacio H de V, un conjunto generador para H es un conjunto {v_1……v_p } en H tal que H=Gen{v_1……v_p }

Ejemplo:

Sea H el conjunto de todos los vectores de la forma (a-3b,b-a,a,b) donde a y b son escalares arbitrarios.

Sea H={(a-3b,b-a,a,b):a y b en R}

Demuestre que H es un subespacio de R^4

Solución:

Escriba los vectores de H como vectores columna. Entonces un vector arbitrario en H tiene la forma

[■(a-3b@b-a@■(a@b))]=a[■( 1@-1@ ■(1@0))]+b[■(-3@ 1@ ■(0@1))]

v_1 v_2

Este cálculo muestra que H=Gen{v_1……v_p } , donde v_1 y v_2 son los vectores indicados. Entonces H es un subespacio de R^4 de acuerdo al Teorema 1:

Ejercicios:

Sea V el primer cuadrante en el plano xy; esto es, sea

V={[■(x@y)]:x≥0, y≥0}

Si u y v están en V, ¿está u+v en V? ¿Por qué?

Encuentre un vector específico u en V y un escalar específico tal que cu no esté en V.

Solución:

u+v está en V porque sus dos entradas son no negativas.

Si u=[■(2@2)] y c=-1 , entonces u está en V, pero cu no está en V.

Sea H el conjunto de puntos que están dentro del círculo unitario en el plano xy. Esto es, sea

H={[■(x@y)]:x^2+y^2≤1}

Encuentre dos vectores o un vector y un escalar para mostrar que H no es un subespacio de R^2

Solución:

Si u=[■(.5@.5)] y c=4 , entonces u está en H, pero cu no está en H.

Sea H el conjunto de todos los vectores de la forma [■(■(s@3s)@2s)]

Encuentre un vector v en R^3 tal que H=Gen{v}

¿Por qué muestra esto que H es un subespacio de R^3?

Solución:

H=Gen{v}, donde v=[■(■(1@3)@2)] . Según el Teorema 1, H es un subespacio de R^3

Sea W el conjunto de todos los vectores de la forma [■(■(5b+2c@b)@c)], donde b y c son arbitrarios.

Encuentre vectores u y v tales que W=Gen{u,v}.

¿Por qué muestra esto que W es un subespacio de R^3?

Solución:

W=Gen{u,v}, donde u=[■(■(5@1)@0)] , v=[■(■(2@0)@1)] Según el Teorema 1, W es un subespacio de R^3

Sean v_1=[■(■( 1@ 0)@-1)], v_2=[■(■(2@1)@3)], v_3=[■(■(4@2)@6)] y w=[■(■(3@1)@2)]

¿Está w en {v_1,v_2,v_3 }? ¿Cuántos vectores hay en {v_1,v_2,v_3 }?

¿Cuántos vectores hay en Gen{v_1,v_2,v_3 }?

¿Está w en el subespacio generado por {v_1,v_2,v_3 }?

Solución:

Existen sólo tres vectores en {v_1,v_2,v_3 } y w no es uno de ellos.

Hay un número infinito de vectores en Gen{v_1,v_2,v_3 }

w está en Gen{v_1,v_2,v_3 }

COMBINACIÓN LINEAL

Se ha visto que todo vector v=(a,b,c) en R^3 se puede escribir en la forma v=ai+bj+ck

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