Vectores octagonales
Enviado por MANDARINAROZHA • 6 de Octubre de 2015 • Tutoriales • 659 Palabras (3 Páginas) • 93 Visitas
Vectores octagonales
El concepto de la perpendicularidad es fundamental para la geometría. Cualquiera que estudie esta disciplina se percata con rapidez de la importancia de los ángulos rectos. Ahora, generalizamos la idea de perpendicularidad a los vectores en R”, donde se le conoce como ortogonalidad.
En R²o Rᶟ, dos vectores distintos de cero u y v son perpendiculares si el ángulo θ entre ellos es un ángulo recto; es decir, si θ=π/2 radianes, o 90°. Así = cos 90°=0, y se sigue que u.v =0. Esto origina.[pic 1]
DEFINICIÓN: Dos vectores u y v R” son octagonales entre sí u.v=0 |
Puesto que 0. V=0 para todo vector v en R”, el vector 0 es octagonal a todo vector.
Ejemplo:
En Rᶟ.u= [1,1,-2] y v=[3,1,2] son octagonales, ya que u.v=3+1-4=0
Si se aplica la notación del ortogonalidad, se consigue una prueba sencilla del Teorema de Pitágoras, valida en R”
TEOREMA DE PITÁGORAS
Para todos los vectores u y v en R”= = =si solo si u:y son ortogonales.[pic 2][pic 3][pic 4]
DEMOSTRACIÓN:
El concepto de ortogonalidad es uno de los más importantes y útiles del algebra lineal, y, con frecuencia, se presentan de maneras sorprendentes. Aunque en el capítulo 5 se da un tratamiento detallado del tema, lo encontramos en muchas ocasiones antes de este. Un problema en el cual se obvio que desempeña un papeles en el hallar la distancia desde un punto a una línea, donde “trazar una perpendicularidad” es un paso o común.
PROYECCIONES
Ahora, consideremos el problema de encontrar la distancia desde un punto a una línea en el contexto de los vectores. Como se verá, está técnica conduce a un concepto útil: la proyección de un vector sobre un vector.
Como muestra la figura, el problema de encontrar la distancia desde un punto B hasta una línea ϑ(en R² o Rᶟ) se reduce al problema de conocer la longitud del segmento de recta perpendicular PB o, de modo equivalente, la longitud del vector PB si elegimos un punto A sobreϑ, entonces, en el triángulo rectángulo ΔAPB , los toros dos vectores son el cateto AP y la hipotenusa AB.AP se conoce como la proyección de AB sobre la línea ϑ. Examinemos está situación en términos de vectores.
[pic 5]
Considérense dos vectores distintos de cero u y v. Sea p el vector obtenido al trazo perpendicular desde la cabeza de v sobre u y sea θ el ángulo entre u y v, como se presenta en la figura. Es evidente, entonces p= •p• u, donde u = (1/•u•)u es que •p•=•v•cosθ, y sabemos que cosθ=. De forma que después de la sustitución, obtenemos que[pic 6]
P = •v•u[pic 7]
=u[pic 8]
=u[pic 9]
Ésta es la fórmula que queremos, y es la base de la siguiente definición para los vectores en R”
DEFINICÓN Si u y v son vectores en R” y u ≠0, entonces la proyección del vector u es el vector proy (v) definido por: Proy(v) = u[pic 10] |
OBSERVACIONES:
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