Investigacion de operaciones

Explicación del tema

1.1 Método analítico de jerarquía

Descripción: C:\Users\Norma Loera\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.IE5\S5VJPY6P\MC900442096[1].wmf

Entre la variedad de métodos de toma de decisiones podemos mencionar el  método  de  jerarquía  analítica  (AHP, Analytic Hierarchy Process), el cual fue introducido por el Dr. Thomas L. Saaty en 1977, y sus mayores atractivos son sus buenas propiedades matemáticas, así como el hecho de que los datos de entrada son bastante fáciles de obtener. Utiliza una estructura  jerárquica de  múltiples  niveles  de  objetivos,  criterios,  subcriterios  y  alternativas. Los datos necesarios para la aplicación del método se derivan de un conjunto de comparaciones uno-a-uno.

El método Analytic Hierarchy Process, en un primer paso sugiere la creación de un diagrama de árbol o construcción de un arreglo jerárquico de al menos tres niveles, que considere el objetivo, los criterios y las alternativas.

A continuación se presenta un ejemplo del diagrama para el problema de elegir un auto, bajo los criterios: modelo, estabilidad y economía; y las alternativas: auto A, auto B y auto C.

Como segundo paso el tomador o tomadores de la decisión deben hacer un juicio sobre la importancia relativa de cada uno de los objetivos y, acto seguido, definir cierta preferencia para cada una de las alternativas en relación con cada criterio, asignándole una calificación.

El resultado es una clasificación con prioridades, que indica la preferencia general para cada una de las alternativas de decisión dentro de ese criterio.

Para establecer las prioridades debemos expresar una preferencia en cuanto a cada uno de estos criterios, comparándolos por pares (A con B, A con C, B con C; individualmente para cada criterio).

AHP (Berumen y Llamazares, 2007),  utiliza una escala con valores de 1 a 9 (Método de Saaty: Método de análisis multiobjetivo para problemas discretos, el cual se emplea para jerarquizar el problema de decisión en criterios y subcriterios) para evaluar las preferencias relativas entre los elementos.

AHP provee una teoría para checar la inconsistencia que pueda producirse dentro de la matriz. La recomendación de Saaty es revisar las comparaciones cuando el índice de inconsistencia sea mayor al 10% (Berumen y Llamazares, 2007).

En un tercer paso construiremos tres matrices, una para cada criterio. Compararemos entre sí las matrices de acuerdo con el criterio, para finalmente conocer la alternativa más importante multiplicando cada una de las componentes de la matriz de peso de los criterios, por la matriz de peso de cada una de las matrices de las alternativas.

La alternativa con mayor peso será la alternativa óptima, y con este paso finalizamos el problema.

Las aplicaciones pueden ir desde la selección de un auto, la contratación de personal o un sinfín de problemas que involucren decisión. Lo importante es captar adecuadamente el problema.

Ejemplos:

Carlos visitó un lote de autos usados con el fin de adquirir uno de éstos, y ha decidido hacer un estudio antes de su elección, considerando los siguientes factores: modelo del vehículo, la estabilidad propia del vehículo y, evidentemente, la economía en cuanto a consumo de combustible.

Gráficamente estructuró un diagrama de árbol quedando del siguiente modo:

Carlos  decide  usar  la  técnica  AHP  para  orientar  su  elección respecto  a  la  compra  del  auto que adquirirá.  Iniciando  con  el  factor modelo y usando  la  escala  estándar  de  preferencia,  ha determinado  que  el  modelo  del  auto  A  es  moderadamente preferido al del auto B, en tanto el nivel de preferencia respecto al  modelo del  auto  A  sobre  el auto  C, es  de  preferencia extrema. La preferencia según el modelo entre los autos B y C, en ese orden, es entre fuerte y muy fuerte.

Utilizando la escala de valores de las prioridades, que se citó en la tabla anterior, obtenemos una matriz de comparación por pares (MCP) para el criterio del modelo. Esta matriz es mostrada en la tabla siguiente, y sus elementos se representan como aij, con  

Observe que cuando comparemos cualquiera de las preferencias consigo mismas, el juicio será igualmente preferido, por lo tanto el valor en cada comparación de este tipo será de 1. Los demás valores corresponden al recíproco del valor ya obtenido en la escala de valores de las prioridades, que para este caso fueron 3, 9 y 6.

El siguiente paso será obtener la matriz normalizada, la cual presenta la siguiente forma, en la que cada uno de los elementos nij se obtienen dividiendo al elemento aij entre la suma siguiente:

Calculemos algunos de los valores nij:

(Se deja al alumno, como ejercicio, el cálculo de los demás elementos de la matriz normalizada)

Así, la matriz normalizada será:

Como dato adicional, la suma de cada una de las columnas es igual a la unidad.

Si obtenemos el promedio de cada uno de los renglones habremos obtenido el vector de prioridades (promedios del renglón), y estos datos serán utilizados para el final del problema.

La consistencia de una matriz de comparación por pares, expresa el correcto juicio del decisor al momento de construir la matriz, ya que en el caso de que la matriz resulte inconsistente, el decisor deberá replantear sus juicios. Si los datos en todas las columnas de la matriz normalizada son iguales, se habla de un juicio coherente o consistencia perfecta, pero esto suele ser muy raro. Debido a esto el AHP calcula la relación de consistencia (CR) como sigue:

De donde:

Determinaremos la consistencia aleatoria con los datos que se conocen.

Uno de los datos que nos falta para la determinación de CI es nmax y para obtenerlo es necesario primero multiplicar la matriz inicial con el vector de los promedios.

Esto es:

Ahora estamos en condiciones de obtener nmax.

nmax=2.0423+0.8602+0.1799=3.0824

Como el valor de la matriz es de 3x3, entonces el valor es n=3.

Sustituyendo los valores obtenidos tenemos que CR=0.0625; por lo tanto la consistencia es aceptable.

Otros autores en lugar de nmax  determinan algo que llaman el vector de consistencia, dividiendo el vector de la suma de pesos recién determinado entre el vector de prioridades determinado previamente, y luego (lmax) como el promedio del vector de consistencia. Para esta forma de trabajo el índice de consistencia está dado por:

Si seguimos ese método el valor de la consistencia varía.

Ahora queremos conocer la consistencia utilizando el vector de consistencia.

El valor de n=3 no cambia; por lo tanto, siguiendo este camino en las expresiones, se tiene que CR=0.0410, por lo que también la consistencia es aceptada.

Cualquiera de los dos casos anteriores nos lleva a resultados consistentes, nos permite asegurar que el decisor ha hecho buen juicio.

Ya hemos trabajado con el modelo de nuestro carro, el siguiente paso  es ahora hacer un análisis de la estabilidad  del mismo modo como se hizo con el modelo. Partiremos de que la escala de valores de prioridades fue dada y corresponde a la mostrada a continuación:

Utilizando esta tabla determinamos la matriz normalizada y el vector de prioridades, tal y como se muestra en la siguiente tabla.

Se procede a determinar nmax multiplicando la matriz inicial con el vector de promedios.

nmax=0.2623+0.4871+2.2605=3.0099

Por lo que el valor de la consistencia es CR=0.0075.

Estudiaremos ahora lo que se refiere a la economía del auto, partiendo de una escala de valores que se encuentra citada en la siguiente tabla.

La matriz normalizada junto con el vector de prioridades será:

Determinamos ahora nmax multiplicando la matriz inicial con el vector de promedios.

nmax=1.5330+1.2132+0.3216=3.0678

Por lo que el valor de la consistencia es CR=0.0513. Por lo tanto la consistencia es buena.

Ahora  hay  que  determinar  el  peso  que  tendrá cada  factor  en  la decisión final, es decir, la ponderación de cada factor.

Se ha determinado que la estabilidad del auto es el factor más importante. La preferencia del  factor estabilidad sobre modelo oscila entre muy fuerte a extremadamente fuerte  (8); la estabilidad  se prefiere moderadamente en comparación a la economía del  auto  (3); y, por último, se prefiere  moderadamente la economía en comparación al modelo (3).

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