LABORATORIO II RESPUESTA IMPULSO, PASO Y RAMPA DE UN SISTEMA DINÁMICO

LABORATORIO II

RESPUESTA IMPULSO, PASO Y RAMPA DE UN SISTEMA DINÁMICO

Tatiana Huepa Velásquez

2420151014

Karla Penagos Viatela

2420162018

MSc. Ing. Ricardo Troncoso

UNIVERSIDAD DE IBAGUÉ

 FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

MATEMÁTICAS PARA LA ELECTRÓNICA

IBAGUÉ-TOLIMA

2019

Resumen:

El presente laboratorio tiene como objetivo calcular y demostrar la salida de un modelo matemático dado por una EDL, como herramienta de solución a problemas matemáticos los cuales están presentes en la formación de los ingenieros. Así mismo, poner a prueba los conocimientos aprendidos en clase sobre la respuesta impulso, paso y rampa de un sistema de tiempo continuo, mediante diferentes métodos.

Abstract:

The present laboratory aims to calculate and demonstrate the output of a mathematical model given by an EDL, as a tool for solving mathematical problems which are present in the training of engineers. Also, test the knowledge learned in class on the impulse, step and ramp response of a continuous time system, using different methods.

Introducción

La modelación matemática se define como el esquema simplificado e ideal que permite estudiar el comportamiento de sistemas complejos a través del formulismo matemático que expresa relaciones, proposiciones u operaciones entre variables específicas. Aplicando señales de prueba a estos sistemas, es posible realizar con facilidad análisis matemáticos y experimentales de sistemas de control, dado que las señales son funciones del tiempo muy simples.

 La forma de la entrada a la que el sistema estará sujeto con mayor frecuencia bajo una operación normal determina cuál de las señales de entrada típicas se debe usar para analizar las características del sistema. Si las entradas para un sistema de control son funciones del tiempo que cambian en forma gradual, una función rampa sería una buena señal de prueba. Asimismo, si un sistema está sujeto a perturbaciones repentinas una función escalón sería una buena señal de prueba; y para un sistema sujeto a entradas de choque, una función impulso sería la mejor. Una vez diseñado un sistema de control con base en las señales de prueba, por lo general el desempeño del sistema en respuesta a las entradas reales es satisfactorio. El uso de tales señales de prueba permite comparar el desempeño de todos los sistemas sobre la misma base. (sistemas de control automático, DACI-EPN)

Contenido

MÉTODO DE LAS FRACCIONES PARCIALES UTILIZANDO DE MANERA EXPLÍCITA LOS POLOS COMPLEJOS        4

MÉTODO DEL DESARROLLO DE LA FORMULA DE HEAVISIDE        7

MÉTODO DE LOS RESIDUOS (DEDUCIDO CON BASE EN LA INTEGRAL DE BROMWICH O INTEGRAL DE INVERSIÓN COMPLEJA)        9

METODO COMPUTACIONAL (MATLAB)        11

TABLA DE ILUSTRACIONES

Figure 1. Primera forma de solución en Matlab        14

Figure 2 segunda forma de solución en Matlab        15

Figure 3 Tercera forma de solución en Matlab        17

Figure 4 cuarta forma de solución en Matlab usando Simulink        18

Figure 5 Salida de Simulink        18

TABLA DE ECUACIONES

1. EDL        6

2 Entrada aplicada al sistema        6

3 Función de transferencia del sistema        6

4 Se aplica Laplace a la entrada        6

5 Vo(s) con los polos múltiples        6

6 salida Vo por fracciones parciales en función de K        7

7 Salida Vo sustituyendo los valores de K        8

8 Respuesta del sistema por fracciones parciales        8

9 salida Vo en función a An        9

10 Respuesta del sistema por Heaviside        11

11 fórmula del teorema del residuo        12

12 Respuesta del sistema por Residuos        13

Un sistema de tiempo continuo tiene como modelo matemático la siguiente Ecuación Diferencial Lineal (EDL):

[pic 1]

1. EDL

Calcular la respuesta 𝒗𝒐 (𝒕) del sistema, si la entrada 𝒗𝒊 (𝒕) es:

[pic 2]

2 Entrada aplicada al sistema

La función de transferencia 𝑮(𝒔) del sistema es:

[pic 3]

3 Función de transferencia del sistema

MÉTODO DE LAS FRACCIONES PARCIALES UTILIZANDO DE MANERA EXPLÍCITA LOS POLOS COMPLEJOS

Se aplica la transformada de Laplace, con condiciones iniciales iguales a cero, a los términos de la ecuación (2)

[pic 4]

   4 Se aplica Laplace a la entrada

[pic 5]

De la definición de una función de transferencia se conoce que , por lo tanto:[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

5 Vo(s) con los polos múltiples

Con base en la formula cuadrática  se calculan los dos polos múltiples del polinomio cuadrático [pic 10][pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

Debido que los polos son múltiples, la función de salida 𝑽𝒐 (𝒔) está dada por:

[pic 14]

6 salida Vo por fracciones parciales en función de K

A continuación, se calculan los residuos:[pic 15][pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21][pic 22]

 [pic 23][pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28][pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

Por propiedades de los números complejos, se puede cambiar el signo de los valores complejos

[pic 35]

[pic 36]

Los valores obtenidos se sustituyen en la ecuación (6)

[pic 37]

7 Salida Vo sustituyendo los valores de K

Se aplica de forma directa la transformada de Laplace a la ecuación (7).

[pic 38]

[pic 39]

Agrupando los términos semejantes se obtiene

[pic 40]

Según las fórmulas de Euler [pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

8 Respuesta del sistema por fracciones parciales

MÉTODO DEL DESARROLLO DE LA FORMULA DE HEAVISIDE

Para los polos múltiples podemos hallar la transformada inversa de Laplace de 𝐹(𝑠) usando las siguientes expresiones

[pic 45]

La secuencia de los polos múltiples es descendente

Los residuos de los polos múltiples se hallan así

[pic 46]

Entonces

[pic 47]

Se procede a calcular la respuesta 𝑣𝑜(𝑡) del sistema.

[pic 48]

[pic 49]

9 salida Vo en función a An

[pic 50][pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 57][pic 58][pic 56]

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

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[pic 65]

[pic 66]

Por propiedad de los números complejos las constantes 𝑨𝒌 de los polos complejos conjugados quedan así:[pic 67][pic 68]

[pic 69]

[pic 70]

Reemplazamos los valores obtenidos en la ecuación (9)

[pic 71]

Aplicando la transformada inversa de Laplace se tiene que:

[pic 72]

[pic 73]

[pic 74]

Según las fórmulas de Euler [pic 75]

[pic 76]

[pic 77]

[pic 78]

10 Respuesta del sistema por Heaviside

MÉTODO DE LOS RESIDUOS (DEDUCIDO CON BASE EN LA INTEGRAL DE BROMWICH O INTEGRAL DE INVERSIÓN COMPLEJA)

[pic 79]

11 fórmula del teorema del residuo

[pic 80]

[pic 81]

[pic 82]

[pic 83]

Cálculo del residuo en el polo [pic 85][pic 86][pic 84]

...