Sistemas Dinamicos

INTRODUCCIÓN

Los problemas de la dinámica han fascinado a los científicos durante miles de años. Los más notables son los de la mecánica celeste, consiste en el estudio de movimientos de cuerpos dentro del sistema solar. Los intentos de Newton para comprender y modelar los movimientos observados de los planetas incorporaron las leyes de Kleper y dieron origen a su desarrollo del cálculo. Así surgió el planteamiento de los modelos de problemas dinámicos como ecuaciones diferenciales ordinarias.

A pesar de dichas ecuaciones parecen muy elegantes y simples, la solución de problemas específicos resultó notablemente difícil y ocupó las mentes de muchos de los más grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX. Mientras que para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales fue desarrollada una teoría relativamente completa, los sistemas no lineales permanecieron esencialmente inaccesibles, excepto por las aplicaciones exitosas de los métodos de perturbaciones a problemas muy cercanos a problemas muy cercanos de sistemas lineales o de los otros sistemas cuyas soluciones se conocen explícitamente. Las aplicaciones más famosas e impresionantes fueron de nuevo en la mecánica celeste, donde se pudo determinar con mucha precisión las orbitas de los planetas. Como un ejemplo, las irregularidades en el moví miento del planeta Urano a mediados del siglo XIX condujeron al descubrimiento del planeta Neptuno. Primero se tuvo certeza de su existencia en forma teórica, y más tarde fue descubierto físicamente en el espacio. Algo parecido ocurrió después de Plutón. En los métodos de perturbaciones uno toma una solución conocida a un problema más simple pero análogo y la modifica para conseguir una mejor aproximación a la solución verdadera, que no se puede calcular en forma exacta. Para su aplicación se requiere de un pequeño parámetro, en términos del cual hacemos una expansión en serie de potencias.

El análisis era la herramienta favorita para el estudio de problemas dinámicos hasta que el trabajo de Poincaré a fines del siglo XIX mostró que los métodos de perturbaciones podrían no darnos resultados correctos en todos los casos, porque las series usadas en tales cálculos divergían. Entonces Poincaré fusionó el análisis con la geometría al desarrollar un punto de vista cualitativo para el estudio de las ecuacuaciones diferenciales ordinarias. Así surgió lo que actualmente se conoce como sistemas dinámicos. Incidentemente, también dio lugar a otras ramas de las matemáticas, como la topología algebraica y la topología diferencial.

Los métodos de Poincaré se caracterizan sobre todo por el punto de vista geométrico global. El visualizaba un sistema dinámico como un campo de vectores en el espacio fase así que una solución es curva suave tangente en cada uno de sus puntos al vector basado en dicho punto. Su preocupación principal era la descripción global de todas las soluciones (o “retrato fase”) y efecto de pequeñas perturbaciones de las condiciones iniciales (estabilidad). En particular se interesaba mucho por la existencia de orbitas periódicas en el problema de 3 cuerpos. El estudio de estabilidad de un sistema tuvo también su origen en cuestiones de mecánica celeste como la estabilidad del sistema solar, estudiadas originalmente por Newton, Lagrange y Laplace. En la época de Poincaré, el problema general de estabilidad fue simultáneamente estudiado por Liapunov, cuya tesis doctoral fue el punto de partida de la teoría moderna de estabilidad.

Después de Poincaré, los sistemas dinámicos como métodos de análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales fueron desarrollados por los siguientes matemáticos. El primero fue Birkhoff, quien impulso el trabajo iniciado por Poicaré al dar forma coherente a los sistemas dinámicos precisando las nociones básicas, a la vez que probó la existencia de una infinidad de soluciones periódicas en el problema de 3 cuerpos. Después Andronov y Pontriagin introdujeron el concepto de estabilidad estructural, donde uno se pregunta si pequeñas perturbaciones de un campo de vectores a otro ligeramente diferente nos dan un retrato fase de soluciones que cualitativamente esté cercano del correspondiente al campo vectorial original. Esto tiene gran importancia

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