Máximos y mínimos MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS II

MAXIMOS Y MÍNIMOS

Introducción

En este bloque conoceremos la lógica de los máximos y mínimos asimismo analizaremos la interpretación de las derivadas para así poder entender las problemáticas de este tema

Para poder comprender maximos y mínimos se tiene que conocer la interpretación de la derivada:

La derivada de una función y=4(x) es la pendiente de la recta tangente a la curva de dicha función, en el punto de coordenadas P(x,y).

Ejemplo ;[pic 1]

Calcular el ángulo de inclinación que forma la tangente a la curva y=x2  en el punto P(2,4)

Antes de visualizar el problema es importante graficar la función mediante una tabulación.

[pic 2]

Derivando y=x 2

dy/dx =2x

Las variables x e  que aparecen en la derivada son las que presentan las coordenadas de punto de tangencia, x =2, y=4

Entonces: dy/dx=2(2)

dy/dx=4

La derivada de la tangente del ángulo que toma la recta tangente con la horizontal se tiene que;

dy/dx=4 = tan 4= 75.96

Un punto N de coordenadas (x, y) es mínimo para cualquier abscisa (x) alrededor de N le corresponde una ordenada yn  mayor que la de N.

U punto de inflexión es aquel en donde cambia el sentido de la derivada, una de las principales características que hay que destacar de los puntos maximos y mínimos es que allí la tangente es horizontal, es decir, con pendiente cero.

Para calcular los máximos y mínimos de una funcion (x) :

1. Se deriva la funcion y= f (x) y se iguala a cero la derivada
2. Se resuelve la ecuación resultante del paso anterior, las raíces encontradas se valores críticos y son los que por tener tangente con pendiente cero.
3. Para investigar cada valor crítico

1. Se toma un valor un poco menor a ese valor critico y se sustituye en la derivada, luego se toma un valor un poco mayor y se sustituye en la derivada
2. Si el valor de la derivada cambia de positivo a negativo el valor crítico en análisis es un máximo, si cambia de negativo a positivo es un mínimo.

Ejemplo:

Hallar los valores máximos y/o mínimos de la función y= x2.  - 4x + 7

Se deriva la función y se iguala a cero

dy/dx= 2x -4 =0

Al resolver 2x – 4 = 0 se obtiene el valor crítico

X= 2

Pero aun no se sabe si es máximo o mínimo

Sustituyendo con un valor mas pequeño que x=2 como por ejemplo x=1 y sustituyes la derivada

Dy/dx=2 (1) – 4=-2

Luego con un valor mayor como x=3 y Sustituyendo

Dy/dx= 2(3) -4 =+2

Como la derivada cambia de signo negativo a positivo, existe un mínimo en x=2.

Conclusión

Los máximos y mínimos son un tema algo complicado pero solo es cuestión de entender la lógica de la sustitución para poder resolver problemas.

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