Maximos Y Minimos

ÍNDICE

Máximos y Mínimos 2 Criterios de la Primera Derivada 2

Criterios de la Segunda Derivada 4

Usos y aplicaciones 5

Conclusión 9

Referencias 9

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Una función f tiene un máximo absoluto (o máximos global) en c si f(c) > f(x) para toda x en D donde D es el dominio de f. El número f(c) se llama valor máximo de f en D.

De manera análoga f tiene un mínimo absoluto en c si f(c) < f(x) para toda x en D; el número f(c) se denomina valor mínimo de f en D.

Los valores máximos y mínimos de f se conocen como valores extremos de f.

CRITERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA

El criterio de la primera derivada es un criterio muy intuitivo en su aplicación, por ello es muy sencillo de entender. A diferencia del criterio de la segunda derivada requiere muy poca abstracción.

La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.

2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.

3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con a<c<b tales que:

1.- f es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle)

2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c;

3.- f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo.

Entonces f tiene un máximo local en c.

Nota: un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.

De manera intuitiva podemos observar que para determinar si existe un máximo o un mínimo basta graficar alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo. Es también importante tener en consideración que el termino alrededor del cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración.

Un punto más a considerar es el tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signos para la derivada Por ejemplo, para el caso de la función: , la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local.

CRITERIOS DE LA SEGUNDA DERIVADA

El criterio de la segunda derivada, para determinar máximos y mínimo, resulta ser un criterio más fácil de aplicar que el criterio de la primera, aunque el análisis del método no es tan simple como el de la primera derivada.

Antes de analizar cómo es la relación de la segunda derivada conoceremos algunas definiciones:

Cóncava hacia abajo. Una función es cóncava hacia abajo cuando la primera derivada es creciente en un intervalo abierto (a,b)

Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales que b<a<c y además:

a) f es una función continua en el intervalo abierto (b,c)

b) f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa.

Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión.

Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada f´ es creciente en ese intervalo.

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