Maximos Y Minimos

Máximos y mínimos relativos o locales

Los máximos y mínimos son los extremos relativos o locales de una función.

Extremos relativos o locales

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

1. Si f'(a) = 0.

2. Si f''(a) ≠ 0.

Máximos relativos o locales

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mínimos relativos o locales

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

Cálculo de máximos y mínimos

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de derivada primera y si:

f''(a) < 0 es un máximo relativo

f''(a) > 0 es un mínimo relativo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

Ejemplo

f(x) = x3 − 3x + 2

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f''(1) = 6 Mínimo

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una función habrá:

1. Un máximo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de creciente a decreciente.

2. Un mínimo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de decreciente a creciente.

Ejemplo

Hallar los máximos y mínimos de:

Tenemos un mínimo en x = 3

Mínimo(3, 27/4)

En x = 1 no hay un máximo porque x = 1 no pertenece al dominio de la función.

ANTECEDENTESSS--------------------------------------

Pierre de Fermat (1601—1665), nació en Beaumont-de-Lomagne, cerca de Montauban. Su padre, un comerciante de pieles, después de haberle dado una instrucción sólida en su familia, lo envió a estudiar Derecho a Toulouse. Allí paso toda su vida, donde ejerció su carrera de abogado; a partir de 1631 fue consejero en el Parlamento. Murió en Castres en 1665. Fermat tuvo una carrera apacible, caracterizada por un cuidado ejemplar de hacer bien sus tareas, y en momentos de ocio, supo crearse ocupaciones literarias y apasionarse por las matemáticas. Fermat publicó rara vez sus descubrimientos, apenas algunas notas como apéndices o tratados escritos por otros. Como trabajaba para entretenerse, sus resultados más notables aparecen en los márgenes de estos tratados y un gran número de sus trabajos se han perdido. Mantuvo correspondencia con los científicos de su época y su reputación como matemático es inmensa.

Este singular científico contribuyó ampliamente a la evolución de las matemáticas en campos tan variados como la geometría analítica, el cálculo diferencial e integral, la teoría de números y la teoría de las probabilidades. Sus principales escritos sobre matemáticas fueron publidos en 1679, después de su muerte, bajo el título de Varia Opera Mathematica.

El problema que estudiaremos trata de una regla para la determinación de los extremos de las funciones algebráicas. Fue escrita (sin demostración) en 1637, en un pequeño tratado titulado Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam.

2. Método de máximos y mínimos

El objetivo del método de Fermat es, como su nombre lo indica, encontrar el máximo o el mínimo de una función f cuya variable es A. Se puede enunciar el método de Fermat de la siguiente manera. Reemplacemos A por1 A + E en f y hagamos f(A + E) aproximadmaente igual a f(A). Ordinariamente estos valores serán diferentes, pero en un máximo o un mínimo de una curva

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