Problemas del método de Newton-Raphson y sus soluciones

Problemas del método de Newton-Raphson y sus soluciones

Luis Herrera Contreras

Universidad Tecnológica de Bolívar, Cartagena, Colombia

luiherrecontre@hotmail.com

Abstract Este artículo tratará de explicar las situaciones en las que el método de Newton-Raphson puede presentar problemas en su iteración, así como los algoritmos que existen para solucionar los problemas sin tener que renunciar al método. Estos se presentaran más adelante en el desarrollo del paper.

1. INTRODUCCIÓN

El método de Newton-Raphson es conocido como un método iterativo o abierto eficiente que se encarga de encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real, Sin embargo existen funciones particulares para las cuales el método no opera de la misma manera al momento de encontrar la  solución a estos problemas sin tener que renunciar a esté, para esto se  debe modificar el algoritmo utilizado.

1. DESARROLLO DE CONTENIDOS

1. Método de Newton-Raphson:

El método de Newton-Raphson es un método abierto o  iterativo, en el sentido de que no está garantizada su convergencia global.  Consiste en tomar un valor razonablemente aproximado al cero de la función (este valor se denomina como: punto de arranque), remplazando la función por la derivad en ese valor, se iguala a cero y se despeja. Este cero será,  una aproximación mejor a la raíz de la función. A continuación se realizan tantas iteraciones como sean necesarias para obtener el margen de error deseado o pedido.

1. Demostración del método:

Para realizar el análisis del método se utiliza el polinomio de Taylor de grado n = 1 de f alrededor de p0 y su correspondiente resto:

[pic 1]

Donde c es un punto intermedio entre p0 y x. Poniendo x = p en (1) y usando f (p) = 0 obtenemos que:

[pic 2]

Si p0 está suficientemente cerca de p entonces el último sumando del miembro derecho de (2) será pequeño así que podemos despreciarlo y usar la aproximación

[pic 3]

Despejando p de (3) se obtiene que

[pic 4]

Expresión que usamos para definir p1, la siguiente aproximación a la raí

[pic 5]

Es posible generalizar esto de modo que la regla general queda establecida como:

[pic 6]

Siendo g(x) entonces:

[pic 7]

1. Problemas de Convergencia del Método:

El orden de convergencia del método es, por lo menos cuadrático. Sin embargo, si la raíz buscada es de multiplicidad algebraica mayor a uno (raíz doble, triple,…), el método de Newton-Raphson pierde su convergencia cuadrática y pasa a ser lineal de constante asintótica de convergencia 1-1/M siendo M la multiplicidad de la raíz.

Esto significa que el método de Newton-Raphson pierde su convergencia cuadrática cuando M>1 esto ocasiona que el cálculo del error en cada paso sea solo una fracción del error en el paso anterior haciendo que la velocidad con la que converge el método sea mucho más lenta ocasionando que el método deje de ser eficiente.

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