Método de Newton-Raphson.

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Método de Newton-Raphson

Introducción

En el siguiente trabajo se enfocara en analizar las características, metodología y aplicaciones del método de Newton-Raphson, el cual es una de las varias alternativas existentes para la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales.

Uno de los principales problemas en matemáticas es la determinación de raíces de una función f(x) dada, para ello existen variedad de métodos numéricos para determinar las raíces, mínimos y máximos de una función de primer o segundo grado, para polinomios de tercer o cuarto grado existen métodos más complejos.

Los métodos más usuales como: punto fijo, regula falsi, bisección, Newton-Raphson y el método de la secante, son usualmente iterativos, iniciando con una aproximación (x0) para una función f(x) dada y calculando aproximaciones sucesivas (x1, x2,…,xn) en donde xn será el valor aproximado (x*) cuando se cumple el criterio establecido para dicha función, el método de Newton-Raphson también llamado método de Newton, es uno de los métodos más veloces para alcanzar la convergencia llegando a duplicar en cada iteración los decimales exactos.

El método de newton encuentra una raíz, siempre y cuando se conozca una estimación inicial para la raíz deseada (x0) utilizando las rectas tangentes que se evalúan analíticamente. El método de Newton se puede aplicar al dominio complejo para hallar raíces complejas.

Fundamentos Teóricos

El método de Newton se obtiene a partir del desarrollo de Taylor [Pres/Flannery/Teukolsky/Vetterling; Cheney/Kincaid]. Supóngase que el problema es encontrar  una raíz de f(x) = 0. Al utilizar el desarrollo de Taylor de f(x) en torno a una estimación x0, la ecuación se puede escribir como:[pic 14]

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Donde  At despejar x en la ecuación (1.1) no se obtiene el valor exacto debido at error de truncamiento, pero la solución se acerca en mayor medida al x exacto, que to que se aproxima et estimado x0. Por lo tanto, al repetir Ia solución utilizando el valor actualizado como una nueva estimación, se mejora Ia aproximación en forma sucesiva.[pic 16]

El algoritmo se muestra de manera gráfica en La figura 1.1. El valor x0 es una estimación inicial para la raíz. A continuación se obtiene la función lineal que pasa por (x0, Yo) en forma tangencial. La intersección de Ia recta tangente con el eje x se denota como x1 y se considera como una aproximación de la raíz. Se repite el mismo procedimiento, utilizando et valor más actualizado como una estimación para el siguiente ciclo de iteración.

La recta tangente que pasa por  es[pic 18][pic 17]

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                   Figura 1.1 Método de Newton

La raíz de  denotada por  satisface[pic 21][pic 22]

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Al resolver la ecuación anterior se obtiene[pic 24]

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Las aproximaciones sucesivas a la raíz se escriben como: [pic 26]

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Obtener la primera derivada de una función dada puede ser una tarea difícil o imposible. En tal caso, se puede evaluar  en la ecuación (1.4) mediante una aproximación por diferencias, en vez de la forma analItica. Por ejemplo, se puede aproximar  mediante la aproximación por diferencias hacia adelante,[pic 30][pic 28][pic 29]

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Donde h es un valor pequeño como h = 0.001 o mediante la aproximación por diferencias hacia adelante, por[pic 32]

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Los errores pequeños en la aproximación por diferencias no tienen un efecto observable en la razón de convergencia del método de Newton. La precisión del resultado final no se ve afectada por la aproximación por diferencias. Si la función no tiene singularidades en la vecindad de la raíz, ambas aproximaciones por diferencias funcionan bien. Sin embargo, debemos elegir una u otra si existe una singularidad cercana.

Como se indicó, el método de Newton se puede aplicar para hallar raíces complejas. Si el lenguaje de programación permite variables complejas, se puede aplicar fácilmente al caso de las raíces complejas un programa de computadora diseñado solo para raíces reales.

El método de Newton de segundo orden [James/Smith/Wolford] se obtiene utilizando el término de segundo orden en la ecuación (1.1). Converge más rápido que el método de Newton estándar analizado en esta sección, pero se paga el precio de evaluar la Segunda derivada.

Algoritmo para el método de Newton-Raphson

        Un algoritmo para el método de Newton-Raphson se obtiene fácilmente al sustituir la ecuación (1.4) por la fórmula predictiva en la figura 1.2. Observe, sin embargo, que el programa también debe modificarse para calcular la primera derivada. Esto se logra incluyendo simplemente una función definida por el usuario.[pic 34]

Además, a la luz del análisis anterior sobre los problemas potenciales del método de Newton-Raphson, el programa se podría mejorar incorporando algunas consideraciones adicionales:

1. Se debe incluir una rutina de graficación en el programa.

1. Al final de los cálculos, se necesitará sustituir siempre la raíz final calculada en la función original, para determinar si el resultado se acerca a cero. Esta prueba protege el desarrollo del programa contra aquellos casos en los que se presenta convergencia lenta u oscilatoria, la cual puede llevar a valores pequeños de , mientras que la solución aún está muy lejos de una raíz.[pic 35]

1. El programa deberá incluir siempre un límite máximo permitido del número de iteraciones para estar prevenidos contra soluciones oscilantes, de lenta convergencia o divergentes que podrían persistir en forma interminable.

1. El programa deberá alertar al usuario para que tome en cuenta la posibilidad de que ƒ′(x) sea igual a cero en cualquier momento durante el cálculo.
   

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Figura 1.2 Dos métodos gráficos para determinar la raíz de  x. a) La raíz como un punto donde la función cruza el eje x; b) la raíz como la intersección de las dos funciones componentes.[pic 37]

Desventajas del método de Newton-Raphson

Aunque en general el método de Newton-Raphson es muy eficiente, hay situaciones donde se comporta de manera deficiente. Sin embargo, también cuando se trata de raíces simples, se encuentran dificultades. Como en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1

Ejemplo de una función que converge lentamente con el método de Newton-Raphson.

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