Método de Newton-Raphson

Método de Newton-Raphson

Ejemplo:

Sea f(x) una función polinomial, determine una aproximación para una raíz real mediante el método de Newton-Raphson.

1. Obtenga una expresión para la derivada de la función f(x).

2. Suponga un valor inicial de la variable, xk, y defina una magnitud del error ε > 0.

Planteando como una ecuación polinomial  

2x4 - 3x3 + 2x2 - 5x – 5 = 0

Iniciando con                                          x0 = 0

Y hasta que                                 l xk+1 – xk l < ε = 0.01

Solución:

Primera iteración

Dada la función polinomial                f(x) = 2x4 - 3x3 + 2x2 - 5x - 5

Su derivada                                           f' (x) = 8x3 - 9x2 + 4x - 5

El valor inicial de x (k = 0)                                   x0 = 0

Y el tamaño del error                                         ε = 0.01

3. Evalué la función f(x) y su derivada f' (x) en el punto x = xk

Como se indica en la secuencia de cálculo, se debe evaluar la función y su derivada en x0:

f(x0 = 0) = 2(0)4 - 3(0)3 + 2(0)2 - 5(0) – 5 = -5

f' (x0 = 0) = 8(0)3 - 9(0)2 + 4(0) -5 = -5

4. Compare el valor de la función con el error definido en el paso 2.

4.1. Si l f( xk ) l < ε, la raíz aproximada es xk

4.2. Si l f( xk ) l ≥ ε, continúe en el paso 5.

l f(0) = -5 l ≥ ε  

5. Observe el valor de la derivada.

5.1. Si f' (xk) = 0, el método no converge en ese punto. Intente otro valor inicial xk

5.2. Si f' (xk) ≠ 0, continué con el paso 6.

f' (0) = -5 es ≠ 0, se procede con el paso siguiente.

6. Calcule la siguiente aproximación xk+1 con la relación xk+1= xk – [pic 1]

x1 = x0 – = 0 -  = - 1[pic 2][pic 3]

7. Criterio de convergencia: compare el valor de xk+1 con el de xk

7.1. Si l xk+1 – xk l ≥ ε, siga al paso 8.

7.2. Si l xk+1 – xk l < ε, la raíz es xk+1

De donde                                                 l x1 - x0 l = l - 1 - 0 l = 1 > ε

8. Asigne al valor supuesto xk el valor calculado xk+1

Como xk+1 = -1 entonces el valor de xk será xk = -1 para la segunda iteración.

9. Vuelva al paso 3.

Ya se ha calculado un valor aproximado a la raíz en esta primera iteración, sin embargo, como se han cumplido los criterios y aún es posible obtener un valor más cercano a la raíz podemos continuar con la siguiente iteración.

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