Desventajas Del método De Newton- Raphson.

Desventajas del método de Newton- Raphson.

Carolina Rodríguez Díaz

Universidad Tecnológica de Bolívar

Cartagena de Indias, Colombia

Carodi04@hotmail.com

Abstract- En el siguiente trabajo se identifican y describen las características principales del método de Newton- Raphson para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real de manera eficaz. Asimismo, se analizan ciertas situaciones, en las cuales la aplicación de este método no resulta conveniente dado a que se exhibe una convergencia lenta. Y por último, se establecen nuevas soluciones haciendo uso de las raíces múltiples.

INTRODUCCIÓN.

El cálculo de las raíces de las ecuaciones es un problema que se ha tenido que enfrentar por medio de la elaboración de diversos métodos, los cuales se basan principalmente en graficar la función y ubicar el punto donde la grafica intercepta al eje de las abscisas o eje x. El punto ubicado x es el valor de la raíz donde f(x)=0.

Los métodos cerrados encierran la función en un intervalo donde esta cambia de signo para tener una raíz dentro de este intervalo y luego empezar reducir por medios de algoritmos el tamaño del intervalo.

En contraste, los métodos abiertos, se basan en formulas que requieren únicamente un valor de inicio x ó que empiecen con un par de ellos, pero que no necesariamente encierran la raíz.

En este trabajo analizaremos uno de los métodos abiertos más eficaces y rápidos, el método de Newton-Raphson y cómo en algunas situaciones presenta una convergencia cuadrática muy lenta y se buscaran soluciones a esas situaciones.

MÉTODO DE NEWTON- RAPHSON.

El método de Newton-Raphson es uno de los métodos numéricos más conocidos y poderos para la resolución del problema de búsqueda de raíces f(x)=0. Hay por lo menos, tres maneras usuales de introducir el método de Newton.

La más común es considerada la técnica gráficamente. Otra posibilidad es la de derivar el método de Newton como una técnica simple para obtener una convergencia más rápida de la que ofrecen muchos otros tipos de iteración funcional. La tercera manera de introducir el método de Newton es el enfoque intuitivo basado en el polinomio de Taylor (derivando geométricamente) como en la figura 1. La primera derivada en x es equivalente a la pendiente.

f^' (x_i )=(f(x_i )-0)/(x_i-x_(i+1) ) ,

Que se puede reorganizar para obtener;

x_(i+1)=x_i-(f(x_i))/(f'(x_i)) ,

A la que se conoce como la fórmula de Newton- Raphson.

Este método asume que la función f(x) es derivable sobre un intervalo cerrado [a,b]. Entonces f(x) tiene una pendiente definida y una única línea tangente en cada punto en [a,b]. La tangente en (x0, f(x0)) es una aproximación a la curva de f(x) cerca del punto (x0,f(x0) ). En consecuencia, el cero de la línea tangente es una aproximación del cero de f(x).

Figura 1: esquema grafico del método de Newton-Raphson.

Situaciones en la que el método de Newton presenta convergencia cuadrática lenta.

El método de Newton es muy rápido y eficiente ya que la convergencia es de tipo cuadrático (el número de cifras significativas se duplica en cada iteración).

Sin embargo, la convergencia depende en gran medida de la forma que adopta la función en las proximidades del punto de iteración. Por lo que en varias situaciones, este método no es capaz de alcanzar la convergencia o bien converge hacia un punto que no es un cero de la ecuación.

Aún cuando se trata de raíces simples, se encuentran dificultades, como en el siguiente ejemplo;

Determine la raíz positiva de la f(x)=x^10-1, usando el método de Newton-Raphson.

n Xn f(xn) f'(xn) ERROR

0 0,50000 -0,99902 0,01953

1 51,65000 135114904483914000,00 26159710451871000,00 0,990

2 46,48500 47111654129711500,00 10134807815362300,00 0,111

3 41,83650 16426818072478500,00 3926432199748670,00 0,111

4 37,65285 5727677301318310,00 1521180282851980,00 0,111

5 33,88757 1997117586819850,00 589336409039672,00 0,111

6 30,49881 696351844868619,00 228320999775654,00 0,111

Tomamos como valor inicial x=0,5 y vemos que el método converge a la raíz 1, pero con una velocidad muy lenta.

Más allá de la convergencia lenta, causada por la naturaleza de la función, en el caso de que f '(xo) = 0, el método no se puede aplicar.

De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intercepta al eje x en ningún punto.

A continuación cuatro casos donde el método de Newton- Raphson exhibe una convergencia lenta:

En la Figura 2 podemos observar el caso donde los valores de x de una función continua pasan de un tipo de concavidad a otra (punto de inflexión), es decir, cuando f’’(x)=0; ocurre en la vecindad de una raíz. Además, nótese que las iteraciones que empiezan en x divergen progresivamente de la raíz.

Figura 2

El método Newton-Raphson tiene la tendencia de oscilar alrededor de un punto mínimo o máximo local, en caso de que tales osciladores persistan, se obtiene una convergencia lenta, como se observa en la Figura 3.

Figura 3

Se puede presentar el caso de que se alcance una pendiente cercana al cero, después de lo cual la solución se aleja de área de interés.

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