Solución de problemas de combinatoria y probabilidad: Rutas, menús, jugadas y diseños

EJERCICIOS CAPITULO 2

1. Suponga que una persona que vive en el Municipio de Bello (Antioquia) trabaja en el centro de la Ciudad de Medellín. Para llegar a su sitio de trabajo, este tiene tres rutas distintas para llegar a la autopista y de allí puede tomar otras tres rutas para llegar al Centro de la Ciudad. En el centro puede tomar cuatro rutas para llegar al parqueadero más cercano a su oficina ¿De cuantas maneras o rutas distintas podría tomarla persona para llegar de la casa al parqueadero más próximo a su oficina?

Solución

A C P R

3 3 4 = 36

2. En el restaurante en el centro de la Ciudad ofrecen almuerzos ejecutivos con las siguientes opciones: tres tipos diferentes de sopa, cuatro tipos de carne con la bandeja, cuatro bebidas a escoger y dos tipos de postre ¿De cuantas maneras puede un comensal elegir su menú que consista de una sopa, una carne para su bandeja, una bebida y un postre?

Solución

A S (4)

S C B

3 4 4 2 =96

3. Si una futbolista conoce 7 jugadas diferentes y su entrenador le instruye para que juegue las 7 sin que ninguna se repita, ¿Qué libertad le queda a ese jugador?

Solución

N = 7

J 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a TOTAL

P 7 6 5 4 3 2 1 5040

n!= n (n - 1 ) (n - 2)….3.2.1

4. ¿Cuántas permutaciones pueden efectuarse con el conjunto S= [a, b, c, d]? Describa cada una de las permutaciones posibles.

Solución

#s=4 [ abcd,acbd,abdc, adbc,acdb,adsb

bacd,bcad,bacd ,bcda, badc,bacd

cabd, cbad, cdba, cbda, cabd, cadb

dabc,dbac,dbca,dbac,dabc,dcba ]

5. ¿Cuantas permutaciones distintas pueden formarse con las letras de la palabra PROBABILIDAD?

Solución

Permutaciones con {P,R,O,B,A,B,I,L,I,D,A,D} = C

n = 13

x. p! q! r! = n!

P= 1,R=1,O=11=1

A=3, i=2, D = 2, B=2

X= ____n!____

p! q! r!

X= ____13!________

3! 2! 2! 2!

X = 13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1_____¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

3*2*1*2*1*2*1*2*1

= 13*12*11*10*9*8*7*6*5*3

= 129.729.600

6. Dados los siguientes seis números: 2, 3, 5 ,6, 7, 9; y si no se permiten repeticiones, resuelva:

¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar con estos seis dígitos?

¿Cuántos de estos son menores de 400?

¿Cuántos son pares?

¿Cuántos son impares?

¿Cuántos son múltiplos de cinco?

Solución

a .)

b) X = 6!__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

2!*4!

X = 6*5*4!_¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

2*1*4!

X = 3 * 5

X = 15

c) X = 6!__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

4! 2!

X = 6*5*4!_¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

4! * 2*1

X = 3 * 5

X = 15

d) X = 6!__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

4! 2!

X = 6*5*4!_¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

2*1*4!

X = 3 * 5

X = 15

e) X = 6!__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

5!*1!

X = 6*5!¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

5!

X = 6

7. Una tarjeta de circuito impreso tiene ocho posiciones diferentes en las que puede colocarse una componente. Si se van a colocar cuatro componentes distintos sobre la tarjeta, ¿Cuál es el número de diseños diferentes posibles?

Solución

P= 8

d= 4

X = 8!__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

2!4!

= 8*7*6*5*4!_¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

2*1*4!

X = 8*7*3*5

X = 56*15; X = 840

8. En una pizzería se anuncia que ofrecen más de 500 variedades de pizza. Un cliente puede ordenar una pizza con una combinación de uno o más de los siguientes nueve ingredientes: jamón, champiñones, piña, pimentón, salchicha, cebolla, peperoni, salami, y aceitunas. ¿Es cierto l que afirma su publicidad?

Solución

9 Elementos

De 1; de 2; de 3; …………, de 9

• De 1 9* C1 = 9!__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

1!( 9 -1 )!

9* C1 = 9!__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬ = 9

1!8!

• De 2 9* C2 = 9!__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

2!( 9 -2)!

9* C2 = 9*8*7!__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬ = 36

2*1*7!

• De 3 9* C3= 9!__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

3! (9 -3)!

9* C3 = 9*8*7*6!__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬ = 12

3*2*1*6!

• De 4 9* C4 = 9!__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

4! (9 -4)!

9* C4 = 9*8*7*8*5!__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬ = 3*7*2 = 42

4*3*2*5!

• De 5 9* C5= = 9!__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

5! (9 -5)!

9* C5= 9*8*7*6*5! = 9*7*2 =126

5!4*3*2*1

• De 6 9* C6 = 9!__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

6! ( 9 -6)!

9* C6 = 9*8*7*6 = 9*8*7 =504

6!3*2*1

• De 7 9* C7 = 9!__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

7! (9 -7)!

9* C7 = 9*8*7! = 36

7!21

• De 8 9* C8 = 9!__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

8! (9 -8)!

9* C8= 9*8! = 9

8!1!

• De 9 9* C9 = 9!__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬

9! (9 -9)!

9* C9 = 9 ! = 1

9! 0!

TOTAL: 772

9. El itinerario de un recorrido turístico por Europa incluye cuatro sitios de visita que deben seleccionarse entre diez ciudades. ¿En cuántas formas diferentes puede planearse este recorrido si:

Es importante el orden de las visitas?

No es importa el orden de las visitas?

Solución

4 sitios 10 Ciudades

nVT = n (n - 1 ) (n - 2)….(n – r +1)

a.) No

b.) No

10. El muy conocido BALOTO electrónico es un juego de azar que consiste en acertar en 6 números de 45 posibles para ganar el premio mayor. Calcule cuantos boletos de juego debe usted comprar para asegurar que tendrá el baloto ganador. La empresa del BALOTO asegure también que usted puede ganar un monto determinado si acierta 3, 4 y 5 aciertos. ¿Todavía cree en el BALOTO?

Solución.

a)

b)

c)

d)

11. En una sala de espera se encuentran 5 personas: 3 hombres y 2 mujeres

¿De cuantas maneras pueden sentarse en la fila?

¿De cuantas maneras pueden sentarse en la fila si los hombres se sientan juntos y las mujeres también?

¿De cuantas maneras pueden sentarse en la fila si justamente las mujeres se sientan juntas?

¿De cuantas maneras

...