BIOGRAFIAS

PACIOLI Luca (1445 - 1517)

Nació en 1445 y murió en 1517 en Sansepolcro(1), Italia. Su padre fue Bartolomeo Pacioli, aunque no fue criado en su casa paterna. De chico vivió con la familia Befolci en Sansepolcro, a unos 60 km. de Perugia.(2)

Piero della Francesca(3) terna un estudio en Sansepolcro, donde Pacioli habría recibido sus primeras enseñanzas de Matemática. Pacioli tenía un gran conocimiento del trabajo de della Francesca, el cual influyó mucho en Los escritos de Pacioli.

Aún joven, Pacioli se traslada a Venecia(4), y comienza a trabajar como tutor de uno de Los hijos de un adinerado mercader llamado Antonio Rompiansi.

Pacioli aprovecha su estadía en Venecia para profundizar los estudios básicos adquiridos con della Francesca. Estudia Matemática con Domenico Bragadino. En esta etapa, Pacioli gana experiencia docente en su rol de tutor y en los negocios atendiendo las actividades comerciales de Rompiansi.

Durante su estadía en Venecia escribe su primer trabajo, que termina en 1470, un libro de Aritmética dedicado a su empleador.

Al morir Rompiansi, en 1470 se traslada a Roma, a la casa de Leone Alberti, quien era secretario en la Cancillería Papal. Ahí comienzan sus relaciones con la Iglesia. Comienza a estudiar teología y se convierte en fraile de la Orden Franciscana.

En 1477 Pacioli comenzó a viajar enseñando Matemática, particularmente Aritmética, en varias universidades. De 1477 a 1480 lo hizo en la Universidad de Perugia, luego lo hizo en Zara(5), en Nápoles y en Roma.

(1)Pequeño pueblo aL sur de La Toscana, cerca de FLorencia, Italia.

(2)Ciudad de ItaLia central, capital de la provincia de Perugia y de La región de Umbria.

(3)Piero delta Francesca (c. 1420-1492), pintor italiano del temprano renacimiento. Fue el primer pintor en intentar aplicar de manera sistemática la perspectiva geométrica a la pintura.

(4)Ciudad y puerto deL noreste de ItaLia, en La región de Véneto, capital de La provincia de Venecia.

(5) Actual Zadar, en Croacia. Formó parte del Imperio Veneciano.

En 1489 regresa a Sansepolcro. Es aquí donde trabaja sobre su obra más famosa, Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalíta, que dedicó a Guidobatdo, duque de Urbino , de quien Pacioli había sido tutor.

Pacioli viaja a Venecia en 1494 para publicar su obra Summa. Este libro es una recopilación de la Matemática conocida hasta el momento, no muestra ideas originales.

Comprende cinco partes principales: la primera, la más importante y extensa se ocupa de Aritmética y Álgebra, la segunda es la aplicación de ambas a la práctica comercial, la tercera se ocupa de la teneduría de Libros, la cuarta de los distintos sistemas monetarios y en la quinta considera la Geometría pura y aplicada. En el primer tratado considera los números perfectos e imperfectos, su naturaleza, Los sistemas de numeración decimal, las progresiones aritméticas y geométricas, trata acerca de Las fracciones y de las operaciones que con ellas se hacen, cómo se puede simplificar y buscar el máximo común divisor, la teoría de Las proporciones, que rige a todas Las cosas, la importancia de la proporción en La medicina, las proporciones en la mecánica, mezcla de colores, arquitectura, proporciones en el arte militar, considera las diferentes operaciones con los polinomios, ecuaciones de grado superior, inferior y de cuarto grado, y exponenciales.

Las partes segunda, tercera y cuarta tratan de aritmética comercial, teneduría de libros, y monedas, una extensa exposición de La partida doble. La quinta parte dedicada a la Geometría trata los triángulos y Los cuadriláteros, la superficie de polígonos y resolución algebraica de los problemas relativos, teoría del círculo, cálculo de volúmenes de figuras sólidas.

También contiene un resumen de Los Elementos de Euclides, y estudia el tema de los juegos de azar, entre otros temas. A pesar de no hacer aportes nuevos, es el punto de partida del mayor progreso en Matemática ocurrido en Europa en esos tiempos.

En 1494 Ludovico Sforza se convirtió en duque de Milán, y en 1496 invita a Pacioli a enseñar Matemática en su corte, a sugerencia de Leonardo da Vinci124, que era un entusiasta de la Matemática, y trabajaba en la corte desde 1482.

(Ludovico Sforza (1451-1508), miembro de la familia ducal italiana Sforza, que gobernó Milán desde 1450 hasta 1535. Los Sforza patrocinaron a artistas como Leonardo da Vinci.)

En Milán, Pacioli y Leonardo se hicieron amigos. Pacioli comienza a trabajar en su segundo libro famoso, Divina proportione. Los dibujos de este libro Los hizo Leonardo. Este libro se publica en 1509 y trata sobre la razón áurea o número de oro (el nombre de número de oro se debe a Leonardo da Vinci), aquel para el que se cumple: a/b=a/(a+b), resolviendo esta ecuación se obtiene que b=1.61803....., se designa con la letra griega Fi

El numero de oro 1,61803... Se juntan el interés matemático y el interés artístico de Leonardo. Para numerosos artistas representa la máxima expresión de la Belleza, la proporción perfecta, de ahí que aparezca en innumerables edificios y obras de arte desde la antigüedad hasta nuestros días.

Es un libro de interés especial para los artistas y los historiadores generales de la cultura. En Los cuatro capítulos habla de las reuniones milanesas, trata ampliamente de la importancia fundamental y universal de la Matemática. Considera la división de una línea en media y extrema razón (razón áurea) que él llama divina proporción, por semejanza, a Dios mismo. Entra en los factores para la construcción del pentágono y de cuerpos regulares, proporción de las superficies y de su inclusión de Los cinco cuerpos en otros, trata de cuerpos dependientes de los regulares, esféricos y oblongos (cilindros, prismas, conos y pirámides). Leonardo da Vinci dibujó para Pacioli gran número de figuras geométricas utilizadas. La segunda parte está dedicada a varios de sus queridos alumnos y discípulos, considera medidas y proporciones del cuerpo humano, en capítulos posteriores se encuentran temas estrictamente arquitectónicos.

El pintor Alberto Durero introdujo el uso de las proyecciones horizontal y vertical que tres siglos después utilizara Monge.

La razón áurea - el número de oro

Veamos algunas de las ocasiones en que aparece la razón áurea.

a) En un pentágono regular si d es la medida de una diagonal y la medida de un lado se cumple la relación siguiente: d/l=//(d+l) (idéntica relación a la anterior pero con otras letras)

o dicho en palabras: La diagonal (d) es al lado (1) >-~-~ d como el lado es la diferencia entre la diagonal y \ el lado. (También se dice que el lado es medio proporcional entre la diagonal y la diferencia entre la diagonal y el lado).

La fórmula anterior es una igualdad entre dos razones es decir es una proporción. Pacioli, entusiasmado por sus propiedades la llamó la proporción divina. Nombre con el cual se conoce aún esta relación. Esta relación, como ya vimos, la conocian los pitagóricos.

b) Una relación fundamental

De la proporción anterior se puede deducir que la razón áurea F cumple la relación: F2 = F+1 o dicho de otra forma E es solución de la ecuación

F2 - F - 1 = O (ecuación de 2°grado)

c) División de un segmento en una razón dada

Decimos que el punto B divide al segmento AC en la razón r si el cociente: AB/BC = r.

Si r = F (la razón áurea), decimos que el segmento AC se ha dividido en extrema y media razón o que hemos realizado la división áurea del segmento AC.

Si AB= x, BC= y la relación x/y es el número áureo; su valor es 1,61803399...

Si hemos realizado la división áurea del segmento AC, decimos que el segmento AB es la sección áurea de AC.

El nombre de división en extrema y media razón procede de Euclides.

Las diagonales de un pentágono regular se cortan según la razón áurea.

d) el rectángulo áureo es aquel en el cual la altura y el ancho están en la proporción 1 a F. Es armonioso en sus dimensiones.

Rectángulo áureo

se cumple que: b/a=F = 1,618034...

Curiosamente la mayoria de los rectángulos que nos encontramos en nuestra vida cotidiana son áureos. Por ejemplo las tarjetas de crédito, la cédula de identidad, un libro, un carnet o cualquier otro rectángulo que tengas a mano. Podemos dividir la medida más larga entre la más corta y comprobar si da un número aproximado a F.

Veamos como construirlo. Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale:

por lo que la proporción entre lo dos lados es:

Justamente el Numero de oro

Un rectángulo de oro tiene una característica muy interesante: si se recorta de él un cuadrado, el rectángulo que queda sigue siendo un rectángulo de oro. Se observa con más detalle en la figura:

si al rectángulo de oro grande Le quitamos eL cuadrado A, el rectángulo B sigue siendo de oro.

Pues bien, podemos realizar ese proceso tantas veces como queramos con Los sucesivos rectángulos de oro que vamos obteniendo, de forma que podemos trazar una espiral logarítmica apoyándonos en los sucesivos cuadrados que se van formando.

Numerosas conchas

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