Bibliográfica De Johann Carl Friedrich Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss (Brunswick, 30 de abril de 1777 – Gotinga, 23 de febrero de 1855), fue un matemático, astrónomo, geodesta, y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de las matemáticas» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

Introducción

La ley de gauss es una de las leyes fundamentales que rigen el comportamiento de los campos eléctricos. En su forma matemática, esta relación puede usarse para calcular las intensidades de campos eléctricos.

Establece que el flujo neto a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga encerrada y la constante de permitividad del espacio libre y es a la vez igual a la integral de superficie del producto entre el la componente normal del campo eléctrico y un diferencial de área.

Esto es válido para cualquier superficie y distribución de carga. Sin embargo no siempre es simple de aplicar.

Es útil emplearla en situaciones de alto grado de simetría, de manera tal que que el campo en cada punto de la superficie sea normal a la misma y su valor se mantenga constante a lo largo y ancho de dicha superficie. De esta manera conseguimos sacar al campo eléctrico fuera de la integral y sólo resta integrar el diferencial de área, que habitualmente se suelen elegir superficies conocidas o fáciles de integrar.

En resumen, a efectos prácticos es necesario conocer, además del valor de la carga, que se trata de una distribución simétrica, aunque la ley de Gauss sea válida para cualquier caso.

Por otra parte, si tienes los conocimientos suficientes sobre ecuaciones diferenciales, puedes utilizar la forma diferencial de la Ley de Gauss y obtener el campo eléctrico, no solo su magnitud sino también su dirección y su dependencia explícita de la posición si conoces la densidad de la distribución de carga eléctrica que lo produce, así como las condiciones de frontera del campo eléctrico.

Ley de Gauss

La ley de Gauss establece que el flujo de ciertos campos a través de una superficie cerrada es proporcional a la magnitud de las fuentes de dicho campo que hay en el interior de dicha superficie. Dichos campos son aquellos cuya intensidad decrece como la distancia a la fuente al cuadrado. La constante de proporcionalidad depende del sistema de unidades empleado.

Se aplica al campo electrostático y al gravitatorio. Sus fuentes son la carga eléctrica y la masa, respectivamente. También puede aplicarse al campo magnetostático.

Flujo de campo eléctrico:

El flujo (denotado como ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo ( ) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.

Para definir al flujo eléctrico con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria ubicada dentro de un campo eléctrico.

La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales , cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado como un plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores , cuya magnitud es la propia área, la dirección es perpendicular a la superficie y hacia afuera.

En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.

y caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados.

El flujo, entonces, se define como sigue:

O sea:

Flujo eléctrico a través de una superficie elipsoidal

Flujo para una superficie cilíndrica en presencia de un campo uniforme

Flujo eléctrico a través de una superficie cilíndrica.

Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme tal como muestra la figura:

El flujo puede escribirse como la suma de tres términos, (a) una integral en la tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la superficie cilíndrica y (c) una integral en la tapa derecha:

Para la tapa izquierda, el ángulo , para todos los puntos, es de , tiene un valor constante y los vectores son todos paralelos.

Entonces:

Siendo el área de la tapa. Análogamente, para la tapa derecha:

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