Para los siguientes ejercicios, determine una función generatriz e indique el coeficiente de la función necesaria para resolver el problema. (Proporcione las formas polinomial y de serie de potencias de la función generatriz, cuando sea apropiado.).

EJERCICIOS 9.1

1. Para los siguientes ejercicios, determine una función generatriz e indique el coeficiente de la función necesaria para resolver el problema. (Proporcione las formas polinomial y de serie de potencias de la función generatriz, cuando sea apropiado.)

Encuentre el número de soluciones enteras para las siguientes ecuaciones:

a) c1 + c2 + c3 + c4= 20,   0 ≤ ci ≤ 7 para todo 1 ≤ i ≤ 4.

b) c1 + c2 + c3 + c4= 20,   0 ≤ ci , para todo 1 ≤ i ≤ 4, con c2 y c3, pares

c) c1 + c2 + c3 + c4 +c5 = 30,   2 ≤ ci ≤4, y 3 ≤ ci ≤ 8 para todo 2≤ i≤  5

d) c1 + c2 + c3 + c4 +c5 = 30,   0 ≤ ci  para todo 1≤ i≤  5 , con c2 par y c3 impar.

1. Determine la función generatriz para el número de formas de distribuir 35 monedas de un centavo (que se obtienen de un fondo ilimitado) entre cinco niños, si (a) no hay restricciones; (b) cada niño obtiene al menos un centavo; (c) cada niño obtiene al menos dos centavos; (d) el niño más grande obtiene al menos 10 centavos; y, (e) los dos niños más pequeños deben obtener al menos 10 centavos.
2. a) Encuentre la función generatriz para el número de formas de seleccionar 10 barras de dulce de un suministro grande de seis diferentes tipos,

b) Encuentre la función generatriz para el número de formas de seleccionar r objetos de una colección de n objetos distintos, si se permite la repetición.

1. a) Explique por qué la función generatriz para el número de formas de tener n centavos en monedas de uno y cinco centavos es (1 + x + x2 + x3 +… )(1 + x5 +x10 +…  

b) Encuentre la función generatriz para el número de formas de tener n centavos en monedas de uno, cinco y diez centavos.

1. Encuentre la función generatriz para el número de soluciones enteras para la ecuación c1 + c2 + c3 + c4= 20 donde -3 ≤ c1 -3 ≤ c2,  -5 ≤ c3 ≤  5 y 0 ≤ c4.
2. Para S= {a, b, c}, considere la función f(x) = (1 + ax)(l + bx)( 1 +cx) = 1 + ax + bx + cx + abx2 + acx2 + bcx2 + abex3. En este caso, en f(x),

• El coeficiente de x° es 1, para el subconjunto [pic 1][pic 2] de S.
• El coeficiente de x1 es a + b + c, para los subconjuntos {a}, {b} y {c} de 5.
• El coeficiente de x2 es ab + ac + bc, para los subconjuntos {a,b}, {a,c} y {b,c} de S.
• El coeficiente de x3 es abc, para el subconjunto {a, b, c} = S.

En consecuencia, f(x) es la función generatriz para los subconjuntos de S, ya que cuando calculamos f( 1), obtenemos una suma en que cada uno de los ocho sumandos corresponde a un subconjunto de S; el sumando 1 corresponde al [pic 3][pic 4]. [Si vamos un paso más allá y establecemos a = b = c = 1 en f(x), entonces f(l) = 8, el número de subconjuntos de S.]

a) Dé la función generatriz para los subconjuntos de S = {a, b, c, . . ., r, s, t}.

b) Responda la parte (a) para el caso de las selecciones en que cada uno de los elementos puede ser rechazado o seleccionado hasta tres veces.

9.2

Definiciones y ejemplos:     Técnicas de cálculo

En esta sección examinaremos varias fórmulas y ejemplos relacionados con las series de potencias que usaremos para obtener los coeficientes de términos particulares en una función generatriz. Comenzaremos con el siguiente concepto.

Definición 9.1 Sea a0, a1, a2,.... una sucesión de números reales. La función

[pic 5][pic 6]

es la función generatriz de la sucesión dada.

¿De donde viene esta idea?

Ejemplo 9.4  Para cualquier n [pic 7][pic 8]Z+    

                         [pic 9]

De modo que (1 + x)n es la función generatriz de la sucesión

                                [pic 10]

Ejemplo 9.5

a) Para n ∈ Z+           [pic 11]

Así [pic 12].  y  [pic 13] es la función generatriz para la sucesión 1,1,1,1,….,0,0,0,…. Donde los primeros  n+1  términos son  1.

b) Si extendemos la idea de la parte (a), encontramos que

                                        1 = (1–x) (1+x+x2+x3+x4+….),

así  [pic 14]  es la función generatriz para la sucesión 1,1,1,1,... [pic 15]es válida para todos los reales x tales que | x | < 1; en este rango de valores, la serie geométrica 

1 + x + x2 + …. converge. Sin embargo, en nuestro trabajo con funciones generatrices nos ocuparemos más de los coeficientes de las potencias de x que de la convergencia. Esto no quiere decir que el concepto de convergencia no sea importante, sino que no lo necesitamos para el material que estudiaremos en este capítulo.]

c) Con  [pic 16]   tomando la derivada de cada lado obtenemos:

 [pic 17] 

[pic 18] 

En consecuencia  [pic 19] es la función generatriz para la sucesión 1,2,3,4,…., mientras que [pic 20]es la función generatriz para la sucesión 0,1,2,3,4,….

d) A partir de (c), [pic 21]o [pic 22] Por lo tanto, [pic 23]   genera  l2, 22, 32,.. , y   [pic 24]  genera   02, l2, 22, 32,. . .

Ejemplo 9.6 a) De la parte (b) del ejemplo 9.5 sabemos que la función generatriz para la sucesión 1,1,1,1…..es f(x) = 1/(1 - x). Por lo tanto, la función

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