ALGEBRA LINEAL .NUMEROS COMPLEJOS (INTRODUCCION)

ALGEBRA LINEAL                                                                            

UNIDAD 1.- NUMEROS COMPLEJOS

                1.1.- Definición y origen de los números complejos.

                1.2.- Operaciones fundamentales con números complejos.

                1.3.- Potencias de “i” modulo o valor absoluto de un número complejo.

                1.4.- Forma polar y exponencial de un número complejo.

                1.5.- Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

                1.6.- Ecuaciones polinómicas.

COMPETENCIA ESPECÍFICA A DESARROLLAR:

Resolver problemas de modelos lineales aplicados en la ingeniería para la toma de decisiones de acuerdo a la interpretación de resultados utilizando matrices y sistemas de ecuaciones. Analizar las propiedades de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales para vincularlos con otras ramas de las matemáticas y otras disciplinas.

 1.- NUMEROS COMPLEJOS (INTRODUCCION).

Los números complejos forman un conjunto que es una extensión del conjunto de los números reales y se denotan con la letra mayúscula C. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y uno imaginario, conservando todas las propiedades de los números reales.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, pero también lo son para variables complejas, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo, entre otras de gran importancia. Además, se utilizan frecuentemente en matemáticas y en muchos campos de la física (principalmente en la mecánica cuántica) y la ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En el campo de los números reales no tienen sentido operaciones como las siguientes:

                               √ (-4)                                (-2)3/4                        LOG (-1)

Igualmente si pretendemos resolver la ecuación x² ᵻ 1 = 0, llegamos a x= ± √-1 y como el radicando es negativo, la raíz cuadrada no tiene solución.

A partir de estas observaciones nace la necesidad de extender el concepto de número a un conjunto más amplio que es el conjunto de números complejos.

Los números complejos son un conjunto de objetos que se pueden sumar y multiplicar, en donde la suma y el producto de dos números complejos es también un número complejo, y que satisfacen las siguientes condiciones:

1).- Todo número real es un número complejo, si α, β son números reales, entonces su suma y su producto como números complejos corresponden a su suma y a su producto como números reales.

2).- Existe un numero complejo denotado por i tal que i² = -1.

3).- Todo numero complejo se puede escribir de manera única en la forma a ᵻ bi donde (a, b) son números reales.

4).- Las leyes ordinarias de la suma y la multiplicación, se cumplen.

Un número complejo, está determinado de manera única por sus partes real e imaginaria:

                                                              Z = a + bi

   a = La parte real.                                                            bi = Parte imaginaria del número

   i = unidad imaginaria, se define como: i= √-1 donde i² = -1

Esta unidad imaginaria es la que permite definir las operaciones con los números reales, para efectuarlas hay que tener presente que cada lado de esa unidad imaginaria debe trabajarse en forma independiente.

En algebra a menudo es necesario resolver ecuaciones cuadráticas como x² - 3x + 2 = 0: si el discriminante es positivo (b² - 4ac ≥ 0) la solución son números reales, pero cuando el discriminante es negativo (x² + 4 = 0) no hay ningún número real cuyo cuadrado sea negativo. Entonces es cuando nosotros utilizamos la unidad imaginaria (i).

1.1.- DEFINICION Y ORIGEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS.

Es un par ordenado (a, b) de números reales (a, b є R). Es decir: z= (a, b), la forma (a, b) de expresar un complejo se denomina FORMA CARTESIANA.

Otros aspectos de la terminología a utilizar son:

El complejo (a, 0) representa un número real igual a cero.

Los números complejos que tienen su parte imaginaria no nula se llaman NUMEROS IMAGINARIOS.

Los números complejos (0, b) se llaman NUMEROS IMAGINARIOS PUROS.

El complejo (0,1) es la unidad imaginaria igual a i.

El conjunto de los números reales, es un subconjunto del conjunto de los números complejos.

FORMAS DE REPRESENTAR UN NUMERO COMPLEJO:

     Z = a + bi (forma binómica)

    Z = rø (forma polar)

    Z = r (cos ø + i sen ø)   (forma trigonométrica)

Representación gráfica de un número complejo:

Se representan como puntos en el plano de coordenadas conocido como PLANO COMPLEJO. El eje horizontal se llama la parte real (a) y el eje vertical es la parte imaginaria (bi)

        bi[pic 1]

        Imaginaria                                                     z=4 + 3i

                3i        (4,3i) →afijo[pic 2][pic 3]

        Real[pic 4]

                    0                        4                   a

1.2.- OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS COMPLEJOS

ADICION (SUMA).- La suma de dos números complejos es otro número complejo, cuya parte real es la suma de las partes reales de los números dados, y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias. Esto es:

                   (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Ejemplos:

                  (5 + 4i) + (3 + 2i) = (5 + 3) + (4 + 2) i = 8 + 6i

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