ALGEBRA MATRICIAL.

ACTIVIDAD ACADÉMICA: ALGEBRA LINEAL

DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA

UNIDAD N°1: ALGEBRA MATRICIAL

Competencia: Analiza las matrices para interpretar sus relaciones y sus operaciones básicas para aplicarlas en la solución de problemas propios de su formación profesional.

MATRICES

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J Sylvester . El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices, aunque parezcan al principio objetos extraños, son una herramienta muy importante para expresar y discutir problemas que surgen en la vida real. En los negocios a menudo es necesario calcular y combinar ciertos costos y cantidades de productos. Las tablas son una forma de representar estos datos. Sin embargó, agrupar los datos en un rectángulo muestra una representación más clara y fácil de los datos

Las matrices son utilizadas ampliamente en la computación, por su facilidad y liviandad para manipular información. En este contexto, son la mejor forma para representar grafos(En matemáticas y ciencias de la computación, un grafo (del griego grafos: dibujo, imagen) o gráfica es el principal objeto de estudio de la teoría de grafos. Informalmente, un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto. Desde un punto de vista práctico, los grafos permiten estudiar las interrelaciones entre unidades que interactúan unas con otras. Por ejemplo, una red de computadoras puede representarse y estudiarse mediante un grafo, en el cual los vértices representan terminales y las aristas representan conexiones (las cuales, a su vez, pueden ser cables o conexiones inalámbricas). Las matrices también son muy utilizadas en el cálculo numérico (El análisis o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.)

La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial en los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos.

DEFINICIÓN DE MATRIZ

Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas). El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales

Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz. Abreviadamente suele expresarse en la forma con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Cuando se menciona indistintamente a filas o columnas, se habla de líneas. El número total de elementos de una matriz es m×n

En matemáticas, tanto las listas como las tablas reciben el nombre genérico de matrices. Una lista numérica es un conjunto de números dispuestos uno a continuación del otro

• Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

TIPOS DE MATRICES

Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.

1. SEGÚN LA FORMA

1.1 Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden . Una matriz de este tipo tiene la forma

Ejemplo: A=

1.2 Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden . Una matriz de este tipo tiene la forma:

Ejemplo:

1.3 Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n × n.

Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

Ejemplo: En la matriz es una matriz cuadrada de orden 3. La diagonal principal está formada por (1, -1, 7) y la diagonal secundaria por (0, -1, 3).

1.4 Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por , a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de , la segunda fila de A es la segunda columna de t, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m × n, entonces es de orden n × m.

Ejemplo: Si , su traspuesta sería

1.5 Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si , es decir, si

Ejemplo: , su traspuesta

, su traspuesta

1.6 Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si , es decir, si ,  i, j.

Ejemplos: , su traspuesta es

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