El algebra matricial

Profesor: Maestro en Ciencias: Matemática Aplicada a la Economía-Sergio Trinidad Rodríguez Méndez

13-10-20

UNAM-FES Acatlán-Economía-Grupo: 1302-Matemáticas III-Apuntes de Clase-Tema: Modelos lineales y algebra de matrices

El algebra matricial es el método adecuado para manejar un sistema de ecuaciones simultáneas grande.

El algebra lineal nos proporciona:

1. Una forma compacta de escribir un sistema de ecuaciones, incluso uno muy grande.
2. Conduce a una forma de probar la existencia de una solución mediante la evaluación de un determinante, un concepto que tiene estrecha relación con el concepto de matriz
3. Proporciona un método para hallar la solución (si existe)

¿Para qué utilizamos los economistas el algebra lineal?

Análisis estático comparativo (los puntos de equilibrio), en al análisis dinámico (trayectorias de crecimiento) y en problemas de optimización.

Cuando se algebra lineal se piensa su alcance es limitado a las funciones lineales, lo cual no es cierto. Por ejemplo, podemos trabajar con una función exponencial:

[pic 1]

Aplicando logaritmo natural en ambos lados de la igualdad, obtenemos:

[pic 2]

[pic 3]

Conceptos de escalar, vector y matriz:

¿Qué es un escalar? Es un número o una representación de es número: 7 o bien [pic 4]

¿Qué es un vector? Es un arreglo de escalares en forma de una fila o de una columna:

[pic 5]

[pic 6]

¿Qué es una matriz? Es un arreglo de más de un vector columna y más de un vector fila

[pic 7]

Matrices rectangulares: Con diferente # de filas que de columnas:

[pic 8]

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Dimensión u orden de una matriz: Se refiere al # de filas y el # de columnas de la matriz y se expresa como: [pic 10]

Ejemplos:

1.

[pic 11]

[pic 12]

Donde  es la matriz de coeficientes de las variables (incógnitas) del sistema de ecuaciones,  es el vector de variables o incógnitas del sistema y  es el vector de términos independientes del sistema.[pic 13][pic 14][pic 15]

¿Qué es el determinante? Es un escalar o un número que se calcula de los elementos (escalares o números) de la matriz cuadrada. Para una matriz de  se tienen dos productos positivos y dos productos negativos, para una matriz de  se tienen tres productos positivos y tres productos negativos, …, para una matriz de  se tienen  productos positivos y  productos negativos[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

Por ejemplo, los determinantes de las matrices siguientes son:

[pic 21]

Primer método para resolver un determinante de 3X3 método de Sarrus:

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Segundo método para resolver un determinante de 3X3: aumentar dos columnas o dos filas[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

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Tarea: aumentar dos filas:

Tercer método (de cofactores) para resolver un determinante de cualquier orden:

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(=[pic 39][pic 40][pic 41]

Con un determinante de 5X5, tenemos que aplicar el método de cofactores para llegar a determinantes de 4X4 (¿cuántos?: 5), después se vuelve a aplicar el método de cofactores para llegar a determinantes de 3X3 (¿cuántos?: 20)

Ejemplos:

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Tarea: resolver el determinante

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Operaciones con matrices

Se dice que dos matrices  y  son iguales si y solo si tienen la misma dimensión y tienen elementos idénticos en las ubicaciones correspondientes del arreglo. Es decir,  si y solo si . Entonces:[pic 54][pic 55][pic 56][pic 57]

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[pic 59]

Suma y resta de matrices:

Dos matrices se pueden sumar o restar si y sólo si tienen la misma dimensión:

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