ANALISIS DE REGRESION Y CORRELACION

ANALISIS DE REGRESION Y CORRELACION  

Busca  relacionar estadisticamente  variables del mundo real ( bi variable), mediante el estadístico de correlación ( coeficiente de correlacion :ρ) o el estadistico de regresion ( coeficiente de correlacion β).

Veamos un caso

 Si tenemos las variables   tiempo promedio de estadía (dias) vs el costo del alojamineto individual (soles), tomado de diez hostales de Tumbes.

Si denotamos por “X” a la variable aleatoria  costo de alojamiento individual; y por  “Y” al tiempo promedio de estadía ,para estas variables nos interesa conocer su nivel de asociación  ( correlación) , y si además de conocer la asociación tambien podemos establecer cierta relacion de dependencia entre ellas , por ejemplo

f(x)=y ,        donde “y” es una   función de “x”,

 El asunto ahora es  encontrar el modelo ( función) que represente mejor a esta relación.

Por el momento vamos a suponer que este modelo es de forma aproximadamente lineal , o sea se relacionan ambas variables en forma de línea recta; y así hablaremos con mas propiedad de  correacion lineal  y de regresion lineal. ,

Correlación Lineal

La letra griega ρ (rho) se utiliza para denotar al coeficiente de correlación

Mas propiamente        ρ+e

  Sus valores estarán siempre en el intervalo siguiente

-1 ≤ ρ ≤ 1 .

En el caso de  que ρ=0   se asume que las variables están incorrelacionadas, y si es 1 ó -1 se trata de una asociación perfecta , ya sea positiva o negativa.

Se estima a partir de una muestra aleatoria , siendo r el estiador de ρ, el que se calcula mediante la siguiente expresión:

[pic 1]

 Para nuestro caso

 Luego

r = - 0,77

Indica que entre estas variables hay una asociación lineal aproximada de 77%. en el sentido inverso ( el tiempo promedio de estadía aumenta cuando el costo disminuye y viceversa)

¿Será significativa esta  correlación?

Para probarlo haremos una prueba de hipótesis  asumiendo como hipótesis nula que es no significativa (ρ =0)

Procedimiento  

Ho: ρ =0

α =5%

Función de Prueba  

[pic 2]

      [pic 3]

Reemplazando valores tenemos :                                                     [pic 4]

to   =   -3.4178645

En este caso deberíamos aceptar H0 si el valor crítico se encuentre entre -2,305 y 2,205, que son los valores de la distribución t para n-2=8 grados de libertad.

        Vemos que    to  = -3.4178645  está fuera de estos valores, lo que indica que debemos  rechazar Ho

Por lo tanto, la correación es significativa.

En otras palabras  hay una asociación significativa entre las variables “tiempo promedio de estadía vs costo del alojamiento”.

Un intevalo de confianza para ρ sería

P( r- tn-2 Sr < ρ <  r+ tn-2 Sr) = 1-α

REGRESION LINEAL

La pregunta ahora sería

¿Existe dependencia de una variable con respecto a al otra?...¿El tiempo promedio de estadía depende del costo del alojamiento individual?

Con un criterio lógico, partimos de presumir que si hay dependencia.    Y si hay dependencia podemos hablar de una función

Y=f(X) + e

ó

Tiempo promedio de estadía = f( costo del alojaminento)  + e

Donde e es el error aleatorio puesto que esta función se define para la población , por tanto sus valores se estiman.

Decimos que se trata de una regresión lineal cuando suponemos que esta función tiene forma de línea recta, y de ser así puede escribirse usando la ecuación punto pendiente,  de la siguiente manera..

Y = α+ βX  + eij

Donde

 α  :  viene a ser el valor constante , o sea   el valor de y cuando x es cero, y

β  : es el coeficiente de regresión o sea la razón de cambio o pendiente de la recta.

Cuando tomamos una muestra de tamaño n , podemos estimar la ecuación mediante

Y= a +bx

Donde

a : es el estimador de α   y

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