Administracion Y El Algebra

Licenciatura en Direcci¶on y Administraci¶on de Empresas

Aplicaciones Lineales Noviembre 2005

Aplicaciones lineales

1. Estudiar en cada uno de los casos siguientes si se trata o no de una aplicaci¶on lineal:

a) h® : V ¡! V

~v 7¡! ®~v

; donde V es un espacio vectorial y ® es un escalar.

b) ta : V ¡! V

~v 7¡! ~v +~a

; donde V es un espacio vectorial y ~a 2 V .

c) ti : Rn ¡! R

(x1; : : : ; xn) 7¡! xi

d) f : R3 ¡! R3

(x; y; z) 7¡! (2x ¡ z; y + z; x)

e) g : R3 ¡! R4

(x; y; z) 7¡! (2x ¡ z; 2x; 4z ¡ y; z)

f ) h : R3 ¡! R2

(x; y; z) 7¡! (x ¡ y; x ¡ z)

2. Encontrar una aplicaci¶on lineal f de R3 en R3 tal que Ker f = h(0; 0; 1)i e Imf = f(x; y; z) 2 R3=z = 0g.

3. Consideremos el endomor¯smo (aplicaci¶on lineal de un espacio en s¶³ mismo) de R3 dado por la relaci¶on

(x; y; z) 7! (y ¡ z;¡x + 4z; y ¡ z). H¶allese el n¶ucleo y la imagen, as¶³ como un sistema generador del n¶ucleo.

4. Obtener T(~u) para una transformaci¶on lineal T si se sabe que T(~u ¡~v) = 4~u + 5~v y T(~u +~v) = ~u ¡ 3~v.

5. Sean S : V ¡! W y T : V ¡! W dos aplicaciones lineales. Su suma es otra aplicaci¶on de V a W de¯nida

mediante (S + T)(~v) = S(~v) + T(~v) para todos los ~v de V . Probar que la aplicaci¶on S + T es lineal.

6. Sea T : V ¡! W una transformaci¶on lineal y k un escalar dado. Se de¯ne una nueva transformaci¶on kT :

V ¡! W mediante (kT)(~v) = k(T(~v)) para todos los ~v de V . Demostrar que la aplicaci¶on kT es lineal.

7. Sean S : V ¡! W y T : V ¡! V dos aplicaciones lineales, y de¯namos su producto como otra aplicaci¶on de V

en V tal que (ST)(~v) = S(T(~v)) para todos los ~v de V . Este producto primero aplica T a un vector y despu¶es

S al resultado. Demostrar que la aplicaci¶on ST es lineal.

8. Dada la aplicaci¶on lineal representada por la matriz

A =

0

@

1 3 0

3 ¡2 ¡1

0 ¡1 1

1

A

en la base can¶onica, hallar el vector transformado del ~x = (1;¡1; 2). Suponiendo que se cambia la base

del espacio vectorial y se sustituye por la formada por los vectores (1; 0; 3), (3; 2; 1) y (3;¡5; 1), hallar las

coordenadas del vector dado y de su transformado en la nueva base. Hallar la matriz de la aplicaci¶on en la

nueva base.

9. Dado el endomor¯smo de R3 cuya matriz es

A =

0

@

¡2 4 2

1 a a

¡1 2 1

1

A

demostrar que para cualquier valor de a la dimensi¶on del subespacio imagen es dos. Hallar el n¶ucleo y la imagen

para a = ¡2.

1

10. Sea f la aplicaci¶on lineal de R4 en R3 de¯nida por f(1; 1; 1; 1) = (0; 0; 1),

f(1; 0; 1; 0) = (1; 1;¡1), f(1; 1; 1; 0) = (0; 0;¡1), f(¡1;¡2; 0; 0) = (1; 1; 1). Hallar:

a) La matriz asociada a f respecto de las bases can¶onicas.

b) Bases de Im f y ker f.

11. Dada la aplicaci¶on lineal f de¯nida por:

f(1; 0; 0; 0) = (1; 0; 0) ; f(0; 1; 0; 0) = (0; 1; 0) ; f(1; 1; 1; 0) = (1;¡1; 0) ; f(1; 1; 1; 1) = (0; 0; 1)

a) Hallar la matriz de la aplicaci¶on respecto de las bases can¶onicas.

b) Hallar la matriz de la aplicaci¶on respecto de la bases can¶onica de R4 y la base B0 = f(1; 0; 0); (1; 1; 0); (1; 1; 1)g

de R3:

c) Calcular la imagen del vector (x; y; z; t) y obt¶en las ecuaciones que caracterizan la transformaci¶on.

d) Calcular los subespacios n¶ucleo e imagen de f dando una base y la dimensi¶on de los mismos.

12. Sea f : R3 ! R3 una aplicaci¶on lineal tal que

f (1; 1; 0) = (2; ®; 2) ; f (0; 1; 1) = (1 + ®; ®; 4) ; f (0; 1;¡1) = (1 ¡ ®; ®; 0)

a) Determinar la matriz asociada a f en la base can¶onica.

b) Calcular f (x; y; z) para cualquier (x; y; z) 2 R3: Calcular f (1;¡1; 2) :

c) Calcular la dimensi¶on del subespacio imagen de f en funci¶on del par¶ametro ®: >Existe alg¶un valor de ®

tal que Im f = R3? >Y alguno para el que el n¶ucleo de f sea s¶olo el vector nulo? Justi¯car las respuestas.

13. Se considera la aplicaci¶on lineal f : R3 ! R4 de¯nida por f(1; 1; 0) = (3; 2; 0; 1), f(2; 3; 1) = (1;¡2; 1; 1),

f(0;¡2; 1) = (4; 0; 1; 2). Calcular la matriz asociada a f en las bases can¶onicas y los subespacios n¶ucleo e

imagen.

14. Sea la aplicaci¶on f : R3 ! R2 dada por f(¡1; 1; 1) = (1; 2), f(0;¡1; 1) = (¡1; 0): Se pide:

a) Calcular f(x; y; z) para cualquier vector (x; y; z) 2 R3:

b) Calcular los subespacios n¶ucleo e imagen de f.

c) Determinar los vectores de R3 que se transforman en el vector (0; 1) mediante f:

15. Dada la aplicaci¶on f : R3 ! R3 de¯nida por

f (x; y; z) = (x + y + z; x + y + z; x + y + z)

Calcular su matriz asociada respecto de la base B = f(1; 0;¡1) ; (0; 1;¡1) ; (1; 1; 1)g :

16. Dada la aplicaci¶on lineal f : R2 ! R3 de¯nida por

f(1; 1) = (1; 2; 0)

f(1;¡1) = (5; 0; 2)

a) Hallar su matriz asociada, A, en las bases can¶onicas.

b) Obtener una base y la dimensi¶on de los subespacios imagen y n¶ucleo de f:

c) Dado el vector ~v = (¡1; 3;¡1) 2 R3 encontrar el vector ~u tal que f (~u) = ~v: Calcula las coordenadas de

~v en la base del apartado (b).

17. Obtener la representaci¶on matricial de la aplicaci¶on lineal T : R3 ¡! R2 de¯nida mediante T(a; b; c) =

(2a + 3b ¡ c; 4b + 5c) respecto a las bases B = f(1; 0; 0); (1; 1; 0); (1; 1; 1)g y C = f(1; 1); (0; 1)g.

18. Dada las aplicaci¶on lineal T : V ¡! V

T(a; b; c) = (3a ¡ b + c; 2a ¡ 2c; 3a ¡ 3b + c)

y las bases de V : B = f(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)g y B0 = f(1; 1; 0); (0; 1; 1); (1; 0; 1)g,

2

a) Obtener su representaci¶on matricial con respecto a dichas bases bases

b) Comprobar que ambas son similares, con una matriz de transici¶on apropiada.

19. Dada las aplicaci¶on lineal T : V ¡! V

T(a; b; c) = (a; 2b;¡3c)

y las bases de V : B = f(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)g y B0 = f(1; 0; 0); (1; 1; 0); (1; 1; 1)g,

a) Obtener su representaci¶on matricial con respecto a dichas bases.

b) Comprobar que ambas son similares, con una matriz de transici¶on apropiada.

20. Sean B = f(1; 1; 1); (1; 1; 0); (1; 0; 0)g y V = f(1; 2); (3; 0)g bases de R3 y R2, respectivamente. Calcular la

matriz asociada a las aplicaciones:

a) f : R3 ! R3 de¯nida por f(x; y; z) = (x; x + y + 2z; 2y ¡ 3z) respecto a la base B.

b) f : R3 ! R2 de¯nida por f(x; y; z) = (2x ¡ 3y + z; x + y ¡ z) respecto a la bases B y V .

c) f : R2 ! R3 de¯nida por f(x; y) = (2x + 2y; 0; 3x ¡ y) respecto a V y B.

21. Sean U, V dos espacios vectoriales y f : U ! V una aplicaci¶on lineal tal que en ciertas bases de U y V tiene

asociada la matriz

A =

0

@

1 0 1 2

1 0 1 2

1 1 0 1

1

A

Calcular dimU, dim V , dim (Imf), dim (Kerf).

22. Sea f : R3 ! R4 la aplicaci¶on lineal de¯nida mediante

f(x1; x2; x3) = (x2 ¡ x3; x1 + x2; x1 ¡ x3; x1 + x2 + x3)

Se pide:

a) Matriz asociada a f respecto de las bases can¶onicas de R3 y R4.

b) Subespacios N¶ucleo e Imagen de f, facilitando una base de cada uno de ellos.

c) Matriz asociada a f respecto de la base f~u1 = (0; 1; 1); ~u2 = (1; 1; 0); ~u3 = (1; 0; 1)g de R3 y de la base

can¶onica de R4.

Justi¯car las respuestas.

23. Sean V y W espacios vectoriales reales, f~e1; ~e2; ~ e3g base de V y f~u1; ~u2; ~u3; ~u4g base de W. Sea f : V ¡! W

la aplicaci¶on lineal de¯nida mediante

f(~e1) = ¸~u1 + ~u2 f(~e2) = ~u3 + ~u4 f(~e3) = ~u1 + ~u2 + ~u3 + ~u4

con ¸ 2 R dado. H¶allese:

a) La matriz asociada a f en las bases dadas.

b) El n¶ucleo y el rango de f, analizando cu¶ando es inyectiva, esto es, cuando su n¶ucleo tiene dimensi¶on cero.

24. Sea f : R3 ! R4 el homomor¯smo de¯nido mediante f(1; 0; 0) = (1; 0; 1; 1),

f(0; 1; 0) = (0; 1; 1; 1), f(0; 0; 1) = (1;¡1; 0; a), donde a 2 R es ¯jo.

a) Obt¶engase la matriz asociada a f respecto de las bases can¶onicas de R3 y R4.

b) Dado un vector ~u 2 R3 de componentes (x; y; z) respecto de la base can¶onica, calcular f(~u).

c) Local¶³cese el n¶ucleo de f, dando una base del mismo.

d) Calc¶ulese el subespacio imagen de f, dando una base del mismo.

3

25. Sea a 2 R y f una aplicaci¶on lineal de R3 en R3 de¯nida por

f(x; y; z) = (3x + 4y + z; 2x + 6y + 3z; x + 3y + az). Se pide:

a) Calcular la matriz asociada a f en la base can¶onica de R3.

b) Calcular la matriz asociada a f en la base formada por

~v1 = (1; 0; 3); ~v2 = (3; 2; 1); ~v3 = (3;¡5; 1)

c) Analizar para qu¶e valores de a la dimensi¶on del n¶ucleo de f es cero.

26. Sea f el endomor¯smo f : R3 ¡! R3 de¯nido por f(x; y; z) = 1

2 (¡x ¡ y; x + y; 2z).

a) Calcular una base de Ker f y una base de Im f.

b) Encontrar una base del subespacio vectorial Ker f \ Im f.

c) Sea B0 = f~b1;~b2;~b3g la base de R3 formada por los vectores

~b1 =

1

p

2

(1; 1; 0); ~b2 =

1

p

2

(¡1; 1; 0); ~b3 = (0; 0; 1)

Encontrar la matriz del endomor¯smo f

...