Ajuste De Bondad

Prueba de bondad de ajuste chi-cuadrado

Se utiliza para decidir cuando un conjunto de datos se ajusta a una distribución dada

Considérese una muestra aleatoria de tamaño "n" de la distribución de una variable aleatoria "X" dividida en "K" clases exhaustivas e incompatibles, y sea "Ni" i = 1, 2, , k. el n mero de observaciones en la i- sima clase. Consid rese la hip tesis nula

H0: F(x)=F0(x)

en donde el modelo de probabilidad propuesto F0(x) se encuentra especificado de manera completa, con respecto a todos los par metros.

Es posible, pues, calcular pi: probabilidad de obtener una observación en la i- sima clase, bajo H0. Es obvio, también, que

Sea ni la realización de Ni para i = 1,2, " k" de manera que

La probabilidad de obtener de manera exacta ni observaciones en la i- sima clase es

Dado que existen "k" categorías mutuamente excluyentes con probabilidades "p1", "p2", "pk"; entonces bajo la hipótesis nula la probabilidad de la muestra agrupada es igual a la función de probabilidad de una distribución multinomial determinada.

Para deducir una prueba estadística para H0, considérese el caso de "k" = 2. Este es el caso de la distribución binomial con x = n1, p = p1, n-x =n2 y 1-p =p2. Sea la variable aleatoria estandarizada:

para "n" grande, esta variable aleatoria se distribuye según una N(0;1). Además sabemos que el cuadrado de una variable aleatoria N(0,1) se distribuye según una chi-cuadrado con un grado de libertad. Entonces el estadístico

Si se sigue este razonamiento, puede demostrarse que para k≥2 categorías distintas

Nótese que "Ni" es la frecuencia observada en la i- sima clase y npi la esperada bajo la hipótesis nula.

Esta estadística recibe el nombre de prueba de bondad de ajuste chi-cuadrada de Pearson.

Si existe una concordancia perfecta entre las frecuencias observadas y las esperadas, el estadístico tendrá un valor igual a cero; por otra parte si las discrepancias entre estas frecuencias son grandes, el estadístico tomará un valor, también muy grande. Por ello se desprende que para un valor dado del error de tipo I, la región crítica estar en el extremo superior la distribución chi-cuadrada con k-1 grado de libertad.

Una ventaja de la prueba de bondad de ajuste chi-cuadrada es que para valores grandes de n, la distribución límite chi-cuadrada de la estadística, es independiente de la forma que tenga la distribución F0(x) propuesta en la hip tesis H0. Como consecuencia de esto se tiene que la prueba de bondad se utiliza también para distribuciones de probabilidad en las que F0(x) es continua. Sin embargo, debe insistirse en que la prueba de bondad es discreta, en el sentido de que ésta compara frecuencias que se observan y se esperan para un número finito de categorías.

De acuerdo con lo anterior, si F0(x) es continua, la prueba no compara las frecuencias que se observan aisladas con la función de densidad propuesta tal y como implica la hipótesis nula; sino, más bien, la comparación se lleva a cabo aproximando la distribució n continua bajo H0 con un número finito de intervalos de clase.

No obstante, esta prueba es un procedimiento

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