PRUEBA CHI-CUADRADA PARA LA BONDAD DEL AJUSTE

PRUEBA CHI-CUADRADA PARA LA BONDAD DEL AJUSTE

A lo largo de este curso nos ocupamos de la prueba de hipótesis estadísticas acerca de parámetros de una población como  y P. Ahora se considera una prueba para determinar si una población tiene una distribución teórica específica. La prueba se basa en qué tan buen ajuste se tiene entre la frecuencia de ocurrencia de las observaciones en una muestra observada y las frecuencias esperadas que se obtienen a partir de la distribución hipotética.

La formula que se utilizará para calcular el valor de chi-cuadrada es igual a la de la sección anterior, con el mismo concepto de grados de libertad.

Ejemplo:

1. Una moneda fue lanzada al aire 1000 series, de 5 veces cada serie y se observó el número de caras de cada serie. El número de series en los que se presentaron 0, 1, 1, 3, 4 y 5 caras se muestra en la siguiente tabla.

Número de caras Número de series

(frecuencia observada)

0 38

1 144

2 342

3 287

4 164

5 25

Total 1000

Ajustar una distribución binomial a los datos con un = 0.05.

Solución:

H0; Los datos se ajustan a una distribución binomial.

H1; Los datos no se ajustan a una distribución binomial.

Para obtener los valores esperados se tiene que utilizar la formula de la distribución binomial: , donde n en este ejercicio vale 5, p y q son las probabilidades respectivas de cara y sello en un solo lanzamiento de la moneda. Para calcular el valor de p, se sabe que =np en una distribución binomial, por lo que = 5p.

Para la distribución de frecuencias observada, la media del número de caras es:

Por lo tanto . Así pues, la distribución binomial ajustada viene dada por p(x) = .

Al seguir esta fórmula se calcula la probabilidad de obtener caras, según el valor de la variable aleatoria. La probabilidad multiplicada por 1000 nos dará el valor esperado. Se resumen los resultados en la tabla siguiente:

Número de caras (x) P(x caras) Frecuencia esperada Frecuencia observada

0 0.0332 33.2 38

1 0.1619 161.9 144

2 0.3162 316.2 342

3 0.3087 308.7 287

4 0.1507 150.7 164

5 0.0294 29.4 25

Para los grados de libertad el valor de m será uno, ya que se tuvo que estimar la media de la población para poder obtener el valor de p y así poder calcular los valores esperados.

Grados de libertad: k-1-m = 6-1-1 = 4

Regla de decisión:

Si X2R 9.49 no se rechaza Ho.

Si X2R >9.49 se rechaza Ho.

Cálculos:

Justificación y decisión:

Como el 7.54 no es mayor a 9.49, no se rechaza H0 y se concluye con un

= 0.05 que el ajuste de los datos a una distribución binomial es bueno.

2. Se propone que el número de defectos en las tarjetas de circuito impreso sigue una distribución Poisson. Se reúne una muestra aleatoria de 60 tarjetas de circuito impreso y se observa el número de defectos. Los resultados obtenidos son los siguientes:

Número de defectos Frecuencia observada

0 32

1 15

2 9

3 ó más 4

¿Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que provienen de una distribución Poisson?. Haga la prueba de la bondad del ajuste con un = 0.05.

Solución:

H0; La forma de la distribución de los defectos es Poisson.

H1; La forma de la distribución de los defectos no es Poisson.

La media de la distribución Poisson propuesta en este ejemplo es desconocida y debe estimarse a partir de los datos contenidos en la muestra.

A partir de la distribución Poisson con parámetro 0.75, pueden calcularse las probabilidades asociadas con el valor de x. Esto es la fórmula de la Poisson es:

Con esta fórmula se calculan las probabilidades, mismas que se multiplican por 60 para obtener los valores esperados.

Número de defectos Probabilidad Frecuencia esperada Frecuencia observada

0 0.472 28.32 32

1 0.354 21.24 15

2 0.133 7.98 9

3 ó más 0.041 2.46 4

Puesto que la frecuencia esperada en la última celda es menor que 5, se combinan las dos últimas celdas.

Número

...