Algebra Lineal
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INSTITUTO TECNOLOGICO DE LEÓN
RANGEL GARCÍA CARLOS ALFREDO
MÁRQUEZ COLÍN ADRIÁN ODÍN
TRABAJO FINAL DE ALBEGRA LINEAL
ING. PABLO GREGORIO PEREZ CAMPOS
ÁLGEBRA LINEAL
ING. SISTEMAS COMPUTACIONALES
01/JUNIO/2012
ESPACIO VECTORIAL
Definición: Un Espacio Vectorial V sobre un campo F, es un conjunto de elementos, llamados vectores, en el que están definidas las operaciones siguientes.
1. Una operación llamada suma vectorial, la cual asocia a cualesquiera dos vectores a y b de V, un vector a + b en V, llamado la suma de a y b, y que satisface las condiciones siguientes:
a) Ley Conmutativa: a + b = b + a
b) Ley Asociativa: a + (b+c) = (a+b) +c
c) Existe un vector único 0 en V, llamado vesctor cero, tal que:
a + 0 = a , a Є V
d) Existe un vector único –a Є V, tal que: a + (-a) = 0
2. Una operación llamada multiplicación por escalar, la que asocia a un escalar c en F y a un vector a en V un vector c*a en V, llamado el producto de c y a, y que satisface lo siguiente:
a) 1 * a = a , a Є V
b) (c₁ * c₂) * a = c₁ (c₂a)
c) c(a + b) = ca + cb
d) (c₁ + c₂) a= c₁a + c₂ aa
SUBESPACIO VECTORIAL
Definición: Sea V un Espacio Vectorial sobre un Campo F. Un subespacio Vectorial de V es un subconjunto W de V el cual es en sí mismo un Espacio Vectorial sobre F con las operaciones de la suma de vectores y la multiplicación por escalares definidas en V.
COMBINACIÓN E INDEPENENCIA LINEAL
Definición: Sean a₁, a₂, …, an y bЄs V, si existen, c₁, c₂ … cn Єs F, de tal forma que:
b = c₁a₁ + c₂a₂ + … + cnan
se dice que el vector b es una combinación lineal de los vectores a₁, a₂, … an.
INDEPENDENCIA LINEAL
Definición: Los vectores no nulos a₁, a₂, …, an elementos de V sobre F, son linealmente independientes si y sólo si:
c₁a₁ + c₂a₂ + … + cnan = 0
implica que:
c₁ = c₂ = … = cn = 0 , c Є F
los vectores que no satisfacen la definición anterior son linealmente independientes.
BASE Y DIMENSIÓN DE ESPACIO VECTORIAL
Base: Una base de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan a V.
El conjunto de los siguientes vectores elementos de En:
Є₁ = (1, 0, 0, … ,0)
Є₂ = (0, 1, 0, … , 0)
Є₃ = (0, 0, 1, … , 0)
.
.
.
Єn = (0, 0, 0, … , 1)
forman una base muy especial llamada base estándar y es la que genera a En.
Sean:
c₁, c₂, c₃, … , cn Єs F
a = c₁Є₁ + c₂Є₂ + … + cnЄn
= (c₁,c₂, …, cn)
Por esta razón, los vectores Є₁ forman un sistema generatriz de En.
Ahora:
a = 0 ↔ c₁ = c₂ = … = cn = 0
por lo que los vectores son linealmente independientes.
Por tanto, forman una base que genera a En.
Teorema:
Sean a₁, a₂, … , an una base de Vn(F), entonces cualquier vector de Vn(F) se puede expresar de una y sólo una forma:
b = c₁a₁ + c₂a₂ + … + cnan
Donde ci Є F
Demostración:
Sea b = c₁a₁ + c₂a₂ + … + cnan y supóngase que b también se puede expresar como:
b = d₁a₁ + d₂a₂ + … + dnan
Por tanto:
c₁a₁ + c₂a₂ + … + cnan =
d₁a₁ + d₂a₂ + … + dnan
entonces:
(c₁ – d₁)a₁ + (c₂ – d₂)a₂ + … + (cn – dn)an = 0
Como los vectores ai son una base, son, por consiguiente, linealmente independientes; por lo que:
c₁ – d₁ = 0 ; c₂ – d₂ = 0 ; … ;cn – dn = 0
De donde:
c₁ = d₁ , c₂ = d₂ ,… , cn = dn
TEOREMAS RELATIVOS A LAS BASES
Es relativamente sencillo demostrar cada uno de los siguientes teoremas, cuyos conceptos son útiles en el manejo de los vectores.
Las demostraciones se omitirán.
Teoremas:
...