Algebra Lineal

INSTITUTO TECNOLOGICO DE LEÓN

RANGEL GARCÍA CARLOS ALFREDO

MÁRQUEZ COLÍN ADRIÁN ODÍN

TRABAJO FINAL DE ALBEGRA LINEAL

ING. PABLO GREGORIO PEREZ CAMPOS

ÁLGEBRA LINEAL

ING. SISTEMAS COMPUTACIONALES

01/JUNIO/2012

ESPACIO VECTORIAL

Definición: Un Espacio Vectorial V sobre un campo F, es un conjunto de elementos, llamados vectores, en el que están definidas las operaciones siguientes.

1. Una operación llamada suma vectorial, la cual asocia a cualesquiera dos vectores a y b de V, un vector a + b en V, llamado la suma de a y b, y que satisface las condiciones siguientes:

a) Ley Conmutativa: a + b = b + a

b) Ley Asociativa: a + (b+c) = (a+b) +c

c) Existe un vector único 0 en V, llamado vesctor cero, tal que:

a + 0 = a , a Є V

d) Existe un vector único –a Є V, tal que: a + (-a) = 0

2. Una operación llamada multiplicación por escalar, la que asocia a un escalar c en F y a un vector a en V un vector c*a en V, llamado el producto de c y a, y que satisface lo siguiente:

a) 1 * a = a , a Є V

b) (c₁ * c₂) * a = c₁ (c₂a)

c) c(a + b) = ca + cb

d) (c₁ + c₂) a= c₁a + c₂ aa

SUBESPACIO VECTORIAL

Definición: Sea V un Espacio Vectorial sobre un Campo F. Un subespacio Vectorial de V es un subconjunto W de V el cual es en sí mismo un Espacio Vectorial sobre F con las operaciones de la suma de vectores y la multiplicación por escalares definidas en V.

COMBINACIÓN E INDEPENENCIA LINEAL

Definición: Sean a₁, a₂, …, an y bЄs V, si existen, c₁, c₂ … cn Єs F, de tal forma que:

b = c₁a₁ + c₂a₂ + … + cnan

se dice que el vector b es una combinación lineal de los vectores a₁, a₂, … an.

INDEPENDENCIA LINEAL

Definición: Los vectores no nulos a₁, a₂, …, an elementos de V sobre F, son linealmente independientes si y sólo si:

c₁a₁ + c₂a₂ + … + cnan = 0

implica que:

c₁ = c₂ = … = cn = 0 , c Є F

los vectores que no satisfacen la definición anterior son linealmente independientes.

BASE Y DIMENSIÓN DE ESPACIO VECTORIAL

Base: Una base de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan a V.

El conjunto de los siguientes vectores elementos de En:

Є₁ = (1, 0, 0, … ,0)

Є₂ = (0, 1, 0, … , 0)

Є₃ = (0, 0, 1, … , 0)

.

.

.

Єn = (0, 0, 0, … , 1)

forman una base muy especial llamada base estándar y es la que genera a En.

Sean:

c₁, c₂, c₃, … , cn Єs F

a = c₁Є₁ + c₂Є₂ + … + cnЄn

= (c₁,c₂, …, cn)

Por esta razón, los vectores Є₁ forman un sistema generatriz de En.

Ahora:

a = 0 ↔ c₁ = c₂ = … = cn = 0

por lo que los vectores son linealmente independientes.

Por tanto, forman una base que genera a En.

Teorema:

Sean a₁, a₂, … , an una base de Vn(F), entonces cualquier vector de Vn(F) se puede expresar de una y sólo una forma:

b = c₁a₁ + c₂a₂ + … + cnan

Donde ci Є F

Demostración:

Sea b = c₁a₁ + c₂a₂ + … + cnan y supóngase que b también se puede expresar como:

b = d₁a₁ + d₂a₂ + … + dnan

Por tanto:

c₁a₁ + c₂a₂ + … + cnan =

d₁a₁ + d₂a₂ + … + dnan

entonces:

(c₁ – d₁)a₁ + (c₂ – d₂)a₂ + … + (cn – dn)an = 0

Como los vectores ai son una base, son, por consiguiente, linealmente independientes; por lo que:

c₁ – d₁ = 0 ; c₂ – d₂ = 0 ; … ;cn – dn = 0

De donde:

c₁ = d₁ , c₂ = d₂ ,… , cn = dn

TEOREMAS RELATIVOS A LAS BASES

Es relativamente sencillo demostrar cada uno de los siguientes teoremas, cuyos conceptos son útiles en el manejo de los vectores.

Las demostraciones se omitirán.

Teoremas:

1. Dos bases cualesquiera que generan el mismo Espacio Vectorial constan del mismo número de elementos.

2. Si una base consta de n elementos, cualquier subconjunto de esta base será linealmente independiente, y cualquier conjunto de m > n elementos será linealmente dependiente.

Dimensión: la dimensión de un Espacio Vectorial V es igual al máximo número de vectores linealmente independientes contenidos en V.

La notación Vn(F) simboliza un espacio vectorial V de dimensión n definido sobre un campo F.

PRODUCTO INTERIOR

Definición: el producto interior, sobre un espacio vectorial V en F es una función σ, cuyo dominio es V x V y contradominio un subconjunto de F, y que satisface las condiciones siguientes.

a) σ(α + β, δ) = σ(α, δ) + σ(β, δ)

b) σ(cα, β) = σc(α, β) = σ(α, c β)

c) σ(α, β) = σ(β, α)

d) σ(α, α) > 0 , si α ≠ 0

a las propiedades a) y b) se les llama de linealidad, a la c), de simetría y a la d) de positividad.

En el Espacio Vectorial Euclidiano, el producto interior tiene la siguiente definición.

Definición: Sean a = (α₁, α₂, α₃, … , αn) y β = (β₁, β₂, β₃, …, βn) vectores de En.

Sea σ una función cuyo dominio es En x En contradominio los números reales, entonces:

σ (a, β) =

TRANSFORMACIONES LINEALES

En este capítulo se estudiaran ciertas funciones llamadas transformaciones lineales y se establecerá una conexión entre las transformaciones lineales y las matrices. Al igual que las matrices se pueden sumar, multiplicar entre ellas, y multiplicar por un escalar, veremos que se pueden definir operaciones similares para las transformaciones lineales. Se verá que el algebra de matrices es básicamente la misma que la de transformaciones lineales.

DEFINICION:

Una transformación lineal es una transformación T: V  W de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W con la propiedades adicionales: (i) para cualquier par de vectores X y Y de V, T(X + Y) = T (X) + T (Y), y (ü) para cualquier escalar a y cualquier vector X de V, T (aX) = aT (X). Observe que suma del lado izquierdo de la ecuación de (i) es una suma en V porque X y Y están en V. la suma en el lado derecho de la ecuación en es una suma en W porque T (X) y T (Y) están el W. en forma semejante, aX es una multiplicación escalar en V, y aT (X) es multiplicación escalar en W.

Si A es un matriz de m x n y lo elementos de Rm y Rn, se consideran vectores columna (en lugar de vectores fila), entonces T: Rn  Rm definida por T (X) = AX es una transformación línea.

Verificación: Si X y Y son vectores columna n x 1, entonces la multiplicación por la derecha de A por X y Y está definida y

T (X + Y) = A (X + Y) = AX + AY = T (X) + T (Y)

Además,

T(aX) = A (aX) = a (AX) = aT (X)

La derivada. (Este ejemplo requiere conocimientos de cálculo). Sea W el espacio vectorial de todas las funciones reales sobre |a , b|, y sea V el subespacio de todas las funciones de W que son diferenciables. Considere la asignación D: VW definida por D(f) = f´ donde f´ es la derivada de f. Del cálculo, D(f + g) = (f + g)´ = f´+ g´ = D(f) y D(g). Además, D(af) = (af)´= a (f´) = aD(f). Por lo tanto, D es una transformación lineal.

EL RANGO Y LA IMAGEN

En esta sección estudiaremos dos conjuntos que están asociados con cualquier transformación lineal T: V  W. Uno de ellos, el rango de T, es un subespacio del codominio W. El otro, llamado núcleo de T o espacio nulo de T (todos los vectores que son transformados en cero), es un subespacio del dominio V. Probaremos un teorema que relaciona la dimensión de estos dos espacios con la dimensión de V. Como una consecuencia, se darán las condiciones suficientes y necesarias para que una transformación lineal sea 1-1 y sobreyectiva. Dicha transformación lineal se llama isomorfismo.

En el primer teorema demostraremos que el rango de T es un espacio vectorial y encontraremos un conjunto de generadores para el rango. El rango de T se denotara por Rt.

Teorema 1: Si T: V  W es una transformación lineal, entonces Rt es un subespacio de codominio W. Más aún, si |X1, X2, … , Xn| es una base para V, entonces los vectores T(X1), T(X2), … , T(Xn) generan Rt.

Prueba1: El rango es una transformación lineal T: V  W es la dimensión del rango (Rt) de T.

Prueba 2: el núcleo o espacio nulo de una transformación

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