Analisis numerico: Sistema de Helmholtz-Thompson

ÍNDICE

Introducción

Nuestro trabajo para la asignatura optativa de Análisis Numérico versa sobre la caracterización y el estudio del comportamiento del sistema de Helmohotz-Thompson definido con esta ecuación diferencial:

[pic 1]

Comenzaremos el estudio del sistema por la parte más fácil , intentar clasificar las partes en que se compone la ecuación diferencial. Para empezar, observamos que contiene tres parámetros que serán fijados por las condiciones iniciales del problema, es decir nosotros deberemos asignarles un valor desde el principio del problema. Estos parámetros descritos son: β, F y ω y deberemos darles un valor inicial.

Si seguimos observando la ecuación a estudiar vemos que contiene una variable x que se encuentra en función del tiempo dentro de la ecuación.

Caso lineal

Pensamos que el estudio del sistema se facilitará si suponemos que el valor de la variable x es constante en el tiempo, con lo que los diferenciales que contienen esta variable serán ceros. Esto es así porque la derivada y la segunda derivada de una constante es cero, ya que como su propio nombre indica no varía su valor en el tiempo.

Al sustituir x por un valor constante resultaría:

[pic 2]

Si observamos la ecuación anterior podemos sacar una conclusión importante, algunos de los dos parámetros que aparecen en la misma, bien  F o bien ω, deben valer cero. Este hecho al principio nos causó confusión ya que cuando nos pusimos a realizar el estudio no deparamos en este matiz fundamental, que explicaremos a continuación.

Debe ser de este modo ya que sino se llegará a una contradicción. Para explicarlo vamos a suponer el caso contrario para que se vea que llegará a algo incoherente. Supongamos que el valor de x es constante, como hemos planteado anteriormente, y que F y ω toman valores distintos a cero. Si como hemos dicho, x es constante la parte izquierda de la igualdad siempre obtendrá el mismo valor, al  estar compuesta de dos valores constantes sin embargo si nos fijamos en la parte derecha de la igualdad vemos que no es constante ya que el valor del seno variará en el tiempo, como ya sabemos, llegaríamos a un absurdo, que la igualdad de la ecuación no se cumple.

Por lo tanto, sabiendo que x es constante, hemos concluido que o bien F o bien ω son cero. Por consiguiente resulta:

[pic 3]

Resolviendo la ecuación anterior podemos observar que las soluciones al sistema de Helmohotz-Thompson cuando la variable x sabemos que es constante son las siguientes.

[pic 4]

Una vez hallada la solución al sistema cuando la variable x es constante, seguimos nuestro estudio observando  el comportamiento de la ecuación  alrededor de los puntos que son las soluciones de la ecuación lineal.

Esto es así para comprobar la estabilidad de los mismos, ya que puede que alguno de ello no sea estable.

Para poder desarrollar nuestro trabajo,  introduciremos en la ecuación los valores de x sumados con valor de Epsilon.

[pic 5]

Caso de [pic 6]

Sustituimos el valor de x por [pic 7] para poder estudiar lo anteriormente descrito. El resultado quedaría de la siguiente forma.

[pic 8]

Desarrollando obtendríamos:

[pic 9]

Ahora como queremos la parte lineal de la ecuación, quitamos el [pic 10] cuadrado y resultaría de esta forma:

[pic 11]

Resolución ecuación diferencial

Queremos conseguir una solución analítica de [pic 12] por lo que resolvemos mediante ecuaciones diferenciales. Transformando la ecuación anterior obtendríamos otra similar que sería:

[pic 13]

Como podemos observar tenemos una ecuación diferencial de primer orden. Para resolverla procedemos a calcular el polinomio característico de la misma.

[pic 14]

Resolviendo esto tendríamos dos soluciones para y.

[pic 15]

Observando dichos resultados podemos observar que los valores de y1 y y2 dependerán del valor de que demos a[pic 16]. Dependiendo el valor que tome [pic 17] la raíz cuadrada tendrá un valor positivo, negativo o cero que implicará directamente a que la ecuación diferencial tenga una solución real, imaginaria o doble.

Por este motivo se procederá a dividir en tres casos el desarrollo de la solución analitica, según sea la raíz positiva, negativa  o cero. Para ello operamos el radicando igualándolo a cero.

[pic 18]

De aquí obtenemos  que habrá tres intervalos según el valor de [pic 19], que [pic 20]>2, que [pic 21]<2 o que [pic 22]=2.

[pic 23]

A partir de ahora, resolveremos la ecuación diferencial dependiendo del valor de [pic 24] según los intervalos que hemos hallado anteriormente.

• β>2

Para [pic 25]>2 sabemos que tendremos dos soluciones reales ya que la raíz es positivo.

[pic 26]

Resolviendo esto tendríamos dos soluciones para y.

[pic 27]

Por lo tanto y quedaría.

[pic 28]

• Β=2

Para [pic 29]=2 sabemos que tenemos una única solución de la ecuación diferencial al anularse la raíz.

[pic 30]

Por lo tanto resulta

[pic 31]

• Β<2

Para [pic 32]<2 sabemos que tendremos dos soluciones las cuales serán imaginarias porque el resultado de la raíz es negativa.

[pic 33]

Resolviendo esto tendríamos dos soluciones para y.

[pic 34]

Vemos el resultado de la ecuación diferencial.

[pic 35]

Para reducir la complejidad en cuanto a notación de las ecuaciones, acordamos dicha igualdad en la definición:

[pic 36]

Por trigonometría se cumple esta igualdad

[pic 37]

[pic 38]

Intentamos dejar la ecuación en función de los cosenos y los senos, por lo que obtenemos sacando factor común.

[pic 39]

Para facilitarnos la comprensión y evitar la aparición explícita de la parte imaginaria, acordamos crear dos nuevas variables que tendrán la siguiente definición.

[pic 40]

Para trabajar únicamente con la parte real  de la solución deberíamos hacer que la parte imaginaria desapareciera y para ello tendríamos que hacer que  [pic 41]. Por consiguiente se debe cumplir que [pic 42].

El resultado de quedarnos solo con la parte real de la solución sería

[pic 43]

Pero nos interesa obtener toda la solución, tanto la real como la  imaginaria, de este modo resultaría.

[pic 44]

Con esto tenemos infinitas soluciones dependiendo de los valores que tomen  c1y c2 o M y N sin embargo nosotros queremos una solución exacta por lo que deberemos condicionar estos parámetros proponiendo unas condiciones iniciales.

Condiciones iniciales de la ecuación diferencial

Estas condiciones iniciales hemos creido conveniente colocarlas a ambos lados del punto x=0 que es solución del sistema cuando la x es constante, para observar su comportamiento. Para ello colocaremos un [pic 45] de 0.1.

Ahora vamos a dar las condiciones iniciales para seleccionar una solución concreta de la ecuación diferencial.

[pic 46]

• β>2

Partiendo de la solución para β>2 de la ecuación diferencial resuelta anteriormente:

[pic 47]

Sustituimos según las condiciones iniciales fijadas la función y(x) quedaría del siguiente modo.

[pic 48]

Una vez obtenido este resultado, seguimos resolviendo la derivada de “y” y posteriormente sustituyendo en ella la condición inicial anterior.

[pic 49]

[pic 50]Como sabemos que [pic 51]

[pic 52]

Seguimos con la resolución

[pic 53]

Ahora sacamos el valor de c1, sabiendo que [pic 54] por lo que

[pic 55]

Después de este proceso ya tenemos los valores para c1 y c2 en función del β que elijamos, para este caso siempre mayor que dos, que era nuestra premisa

Representación gráfica de la solución

Ahora mostraremos una gráfica de la solución calculada anteriormente, para ello propondremos un valor de β>2 que será β=3.

[pic 56]

La gráfica que se muestra resulta de aplicar la solución anterior en un intervalo temporal de (-10,100).

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