Analizar el comportamiento del movimiento de un péndulo

OBJETIVOS:

- Analizar el comportamiento del movimiento de un péndulo como oscilador

armónico amortiguado.

- Analizar las condiciones bajo las cuales un péndulo (oscilador forzado)

activado por un sistema externo, se obtiene la máxima resonancia o máxima

amplitud de oscilación.

Para el desarrollo de esta práctica es importante tener conocimiento del

comportamiento del péndulo simple visto como:

oscilador armónico simple:

Se dice que un sistema cualquiera, mecánico, eléctrico, neumático, etc. es un oscilador armónico si cuando se deja en libertad, fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha posición estable. El ejemplo es el de una masa colgada a unresorte. Cuando se aleja la masa de su posición de reposo, el resorte ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio (distancia a la posición de reposo) y que está dirigida hacia la posición de equilibrio. Si se suelta la masa, la fuerza del resorte acelera la masa hacia la posición de equilibrio. A medida que la masa se acerca a la posición de equilibrio y que aumenta suvelocidad, la energía potencial elástica del resorte se transforma en energía cinética de la masa. Cuando la masa llega a su posición de equilibrio, la fuerza será cero, pero como la masa está en movimiento, continuará y pasará del otro lado. La fuerza se invierte y comienza a frenar la masa.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/HarmOsc1.png

El oscilador armónico amortiguado por una fuerza proporcional a la velocidad, tiene las siguientes características esenciales:

1. La amplitud decrece exponencialmente con el tiempo

2. El oscilador tarda un tiempo teóricamente infinito en pararse

3. El oscilador armónico bajo la acción de una fuerza de rozamiento constante, nos permite examinar una vez más, el comportamiento de la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento tiene un módulo constante, pero su sentido es contrario a la velocidad del móvil.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e5/HarmOsc2b.png

oscilador armónico forzado amortiguado

Podemos iniciar el movimiento un oscilador armónico desplazándolo de su posición de equilibrio y abandonándolo a su oscilación libre (ver párrafos precedentes).

Alternativamente, podemos aplicarle una fuerza cuya intensidad varíe de manera sinusoidal con el tiempo. En esta situación, la ecuación diferencial lineal es inhomogénea. La solución a este tipo de ecuación está formada por dos términos: la solución general del sistema homogéneo más una solución particular del caso inhomogéneo.2 Por tanto, la solución está formada por dos partes, una parte transitoria (que se anula pasado cierto tiempo), similar a las que vimos en los párrafos precedentes, más una parte estacionaria. La solución de la parte transitoria es la misma la que ya hemos visto (ecuación homogénea). Las únicas diferencias son las condiciones iniciales y finales, que no son idénticas. Vamos a interesarnos a la solución estacionaria. En la ecuación diferencial del sistema hay que añadir la fuerza sinusoidal:

¿Cómo se expresan las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones de movimiento

que modelan el movimiento para el péndulo en los tres casos planteados?

Se denominará a la masa e a la distancia entre la posición de la masa y la posición de equilibrio. Se supondrá que la fuerza del resorte es estrictamente proporcional al desequilibrio: (ley de Hooke). es la fuerza y la constante elástica del resorte. El signo negativo indica que cuando es positiva la fuerza está dirigida hacia las negativas.

La segunda ley de Newton nos dice:

remplazando la fuerza

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