Movimiento oscilatorio de un pendulo

Uso de herramientas de análisis estadístico para la determinación del periodo de oscilación de un péndulo

Gimenez Gustavo, Gomez Miguel, Tavella Cristian.

Resumen

        Se mide 300 veces el tiempo que le lleva a un péndulo completar un ciclo y se estudian los valores obtenidos con dos métodos diferentes haciendo uso del análisis estadístico, esperando llegar al mismo resultado en ambos casos, con el fin de determinar el periodo del mismo y un margen de error.

Introducción

Se realizaron mediciones del periodo de oscilación de un péndulo de longitud constante y conocida y considerándose a ésta como la única variable controlable interviniente en el sistema. Se sabe además que, debido al método de medición utilizado, las mediciones tuvieron un error (propio de los instrumentos de medición y de la persona que las efectúa) que puede considerarse apreciable.

Mediante un análisis estadístico, se propuso analizar las mediciones con dos métodos diferentes (llamados arbitrariamente A y B), para obtener en ambos casos el periodo de oscilación del péndulo más un margen de error, dentro del cual una medición futura bajo las mismas condiciones iniciales descritas sería considerado valido. Una vez obtenidos los resultados de ambos métodos, fueron comparados para comprobar si se fueron iguales.

Según el método A, los valores obtenidos fueron plasmados en un histograma, en el cual se ve que un intervalo de tiempo en particular es el más concurrido. Se calculó el valor promedio y la desviación estándar, y con estos datos se graficó la distribución normal correspondiente.

Según el método B, el total de las mediciones fue repartido en series más pequeñas, con igual cantidad de mediciones en cada una, se calculó el valor promedio y desviación estándar de cada serie, y nuevamente se calculó un promedio de estos valores.

Descripción del experimento / Materiales y métodos

        Al extremo de una cuerda se le ató una masa m de valor constante, el otro extremo fue enrollado sobre el gancho de una columna hasta conseguir que la cuerda tenga una longitud l = 1m±1mm y luego atado, haciendo a l constante (Fig.1). Transversal al plano en el que oscilara el péndulo y a una distancia de 1m aproximadamente se colocó el observador, con un cronometro digital en mano (con un error de o,oo1 seg), el cual es iniciado cuando un  ayudante suelta el péndulo en una posición distinta de la del equilibrio y pausado cuando el péndulo, al completar una oscilación, vuelve a posicionarse en el punto desde el cual fue soltado; el valor de tiempo señalado por el cronometro fue registrado en una planilla generada por el software de análisis y gráficos de datos Origin 8.5. La fuente de error se presenta dos veces por cada medición, ya que el observador no inicia el cronometro en el momento exacto en el que el péndulo es soltado, ni lo detienen en el momento exacto en el que cumple un ciclo. [pic 1]

        El proceso de medición fue repetido 300 veces con el fin de obtener conclusiones estadísticamente válidas, de esos datos se extrajo el periodo de tiempo mínimo y máximo registrado y los datos fueron procesados de dos maneras diferentes por separado esperando llegar en ambos casos al mismo resultado.

Método A: Se calculó el valor promedio

                         (1)[pic 2]

, y se hizo un histograma con los primeros 10, 20, 30, 50, 100 y 300 valores (el total), para visualizar la tendencia que tienen los valores medidos a acercarse a un valor o intervalo de tiempo determinado a medida que se incluyen más mediciones. El tamaño de los bines del histograma se calculó  . Para cada histograma se calculó la distribución normal (multiplicada por un factor de normalización   para que se cumpla la propiedad )[pic 3][pic 4][pic 5]

                (2)[pic 6]

el cual correspondería a representar al histograma si éste fuese continuo.

Analizando los datos con el software se obtuvo el desvío estándar

                        (3)[pic 7]

que muestra el valor promedio de la variación de las mediciones con respecto al valor promedio y determina la incerteza, o margen de error, de la medición.

Método B. Se dividió el total de las mediciones en 10 series iguales, con 30 valores en cada una y se calculó el promedio  y el desvío estándar  de cada una de las series. Con esos se calculó un nuevo valor promedio  y un desvío estándar promedio  con los valores de  y  dados por cada serie.[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

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