Angulos Euler y RPY

                                  [pic 4]

[pic 5]

                                                                                                                                              [pic 6]

Ángulos RPY.

Los ángulos R-P-Y, del inglés Roll (balanceo), Pitch (inclinación), Yaw (orientación), se usan en la navegación náutica donde corresponden al alabeo, cabeceo y guiñada respectivamente [Ollero, 2001]. Los ángulos R-P-Y son también conocidos como ángulos fijos X-Y-Z, ya que se refiere al hecho de que las rotaciones se especifican sobre el sistema de referencia fija, es decir, la inmóvil [Craig, 2006].

Por ejemplo, para expresar la orientación de un objeto que tiene un sistema de ejes asociados {B}, con respecto a un sistema de referencias {A}. Se comienza con el sistema de referencias coincidente con el sistema de referencias conocida {A}. Se gira {B} primero sobre  usando un ángulo  (balanceo), después se gira {B} sobre  con un ángulo  (inclinación) y finalmente se gira {B} sobre  usando un ángulo  (orientación) [Craig, 2006]. En la Figura 1.1 se muestra el procedimiento descrito anteriormente.[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

[pic 13]

Figura 1.1 Ángulos RPY.

Es importante resaltar que las rotaciones se llevan a cabo en el orden . La matriz de rotación equivalente   es directa, ya que todas las rotaciones ocurren sobre ejes del sistema de referencia. Empleando el operador de rotación, se obtiene:[pic 14][pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Esta ecuación especifica el orden de las tres rotaciones y es correcta solo para las rotaciones realizadas en el orden descrito anteriormente [Craig, 2006]. El problema inverso es de interés, ya que se trata ahora de obtener los ángulos de orientación conocida la matriz de rotación.

[pic 18]

Al obtener la raíz cuadra de la suma de los cuadrados d  y , se puede calcular . Después se puede resolver para  con el arco tangente de  sobre el coseno calculado. Luego, siempre y cuando , se puede resolver para  sacando el arco tangente de  sobre  y se puede resolver para  sacando el arco tangente de  sobre .[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

 es una función de arco tangente de dos argumentos, es decir, calcula  [Craig, 2006].[pic 34][pic 35]

Ángulos de Euler ZYX.

En lugar de realizar tres rotaciones consecutivas alrededor de los ejes del sistema de referencia {A}, el cual es fijo, las rotaciones ahora se efectúan alrededor de los ejes del sistema {B} solidario al cuerpo, tal como se muestra en la Figura 1.2 [Ollero, 2001].  Dichos conjuntos de tres rotaciones se llaman ángulos de Euler.

[pic 36]

Figura 1.2 Ángulos ZYX de Euler.

Se comienza con {B} coincidente con la referencia {A}. Se gira {B} primero sobre  usando un ángulo , después se gira sobre  usando un ángulo , y finalmente se gira sobre  usando un ángulo . Cada rotación se lleva a cabo sobre un eje cuya ubicación depende de las rotaciones anteriores. Ya que las tres rotaciones ocurren sobre los ejes ,  y  se llama a esta representación ángulos de Euler  ZYX [Craig, 2006].[pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

...