Euler Mejorado

MÉTODO DE EULER

CAMACHO GARCÍA JUAN SEBASTIÁN COD.: 2010192559

GÓMEZ PEÑALOZA KAREN ISABEL COD.: 2010193023

PARDO BARRERO JAVIER SLEYNER.: 2010191927

TRABAJO PRESENTADO EN LA ASIGNATURA

ECUACIONES DIFERENCIALES

CÓD. BFINEL19 104944 - 03

PROFESORA; ARCE MEDINA, YINETH

UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA

FACULTAD DE INGENIERIA

PROGRAMA ELECTRÓNICA Y PETRÓLEOS

NEIVA, 18 DE ENERO

2012

PRESENTACIÓN

Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una o varias funciones desconocidas con respecto a una o varias variables independientes. Estos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecánicas que rigen el movimiento de los cuerpos, al ponerse en términos matemáticos dan lugar a ecuaciones diferenciales. Usualmente estas ecuaciones están acompañadas de una condición adicional que especifica el estado del sistema en un tiempo o posición inicial. Esto se conoce como la condición inicial y junto con la ecuación diferencial forman lo que se conoce como el problema de valor inicial. Por lo general, la solución exacta de un problema de valor inicial es imposible ó difícil de obtener en forma analítica. Por tal razón los métodos numéricos se utilizan para aproximar dichas soluciones. En este caso utilizaremos los métodos de Euler Mejorado, para comprobar que es realmente más exacto que el anterior (Método de Euler).

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Aplicar los conocimientos básicos del cálculo para resolver ecuaciones diferenciales EDO, utilizando métodos numéricos, y en este caso particular, el método de Euler Mejorado

OBJETIVO ESPECÍFICO

Desarrollar habilidades en la solución de ecuaciones diferenciales.

Aplicar el método de Euler mejorado para obtener aproximaciones numéricas mucho mas exactas que con el Método de Euler anteriormente aplicado a la solución de problemas de valor inicial.

Comparar el presente Método con el Método de Euler.

ELEMENTOS TEÓRICOS

En el método de Euler se tomó como válida para todo el intervalo la derivada encontrada en un extremo de éste Fig. . Para obtener una exactitud ra¬zonable se utiliza un intervalo muy pequeño, a cambio de un error de redondeo mayor (ya que se realizarán más cálculos).

El método de Euler modificado trata de evitar este problema utilizando un valor promedio de la derivada tomada en los dos extremos del intervalo. en lugar de la derivada tomada en un solo extremo.

EL METODO DE EULER MODIFICADO CONSTA DE DOS PASOS BASICOS:

1. Se parte de (xo,Yo) Y se utiliza el método de Euler a fin de calcular el valor de Y correspondiente a Xl' Este valor de Y se denotará aquí como YI' ya que sólo es un valor transitorio para Yl' Esta parte del proceso se conoce como paso predictor.

2. El segundo paso se llama corrector, pues trata de corregir la predicción. En el nuevo punto obtenido (XI,Yl) se evalúa la derivada [(xI' YI) usando la ecua-ción diferencial ordinaria del PVI que se esté resolviendo; se obtiene la media aritmética de esta derivada y la derivada en el punto inicial (xo' Yo)

Ejemplo 1:

Aplicar el método de Euler mejorado para aproximar la solución del problema de valor inicial con tamaño de paso h=0.1

dy/dx=x+y

y(0)=1

Con solución exacta y(x)=2e^x-x-1 con f(x,y)=x+y de las ecuaciones planteadas anteriormente las formulas predictoras-correctas para el método de Euler mejorado son:

u_(n+1)=y_n+h*(x_n+y_n)

y_(n+1)=y_n+h*1/2[(x_n+y_n )+(x_(n+1)+u_(n+1) )]

Con tamaño de paso h=0.1 se calcula:

X0=0 Y0=1

u_1=1+(0.1)*(0+1)=1.1

y_1=1+(0.05)*((0+1)+(0.1+1.1))=1.11

u_2=1.11+(0.1)*(0.1+1.11)=1.231

y_2=1.11+(0.05)*((0.1+1.11)+(0.2+1.231))=1.2421

u_3=1.2421+(0.1)*(0.2+1.2421)=1.3863

y_3=1.2421+(0.05)*((0.2+1.2421)+(0.3+1.3863))=1.3985

u_4=1.3985+(0.1)*(0.3+1.3985)=1.5683

y_4=1.3985+(0.05)*((0.3+1.3985)+(0.4+1.5683))=1.5818

u_5=1.5818+(0.1)*(0.4+1.5818)=1.78

y_5=1.5818+(0.05)*((0.4+1.5818)+(0.5+1.78))=1.7949

x Aproximación

de Euler

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