Anualidades Y Amortización

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONÓMA DE MÉXICO

Facultad de Contaduría y Administración

27/08/2013

Alumna: Sonia González Murillo.

Materia: Matemáticas Financieras.

Maestra: Patricia Guadalupe Ruiz Piña

Grupo: 9122

Actividad: 4 Anualidades y Amortización

ACTIVIDAD 4- ANUALIDADES Y AMORTIZACIÓN

Anualidades.

Concepto

En general se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema, aunque no siempre se refieran a periodos anuales de pago. Algunos ejemplos de anualidades son:

1. Pagos mensuales por renta

2. Cobro quincenal o semanal por sueldo

3. Abonos quincenales o mensuales a una cuenta de crédito

4. Pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.

Intervalo o periodo de pago.-Se conoce como intervalo o periodo de pago al tiempo que transcurre entre un pago y otro.

Plazo de una anualidad.- es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer pago y el final o ultimo.

Renta.- es el nombre que se da al pago periódico que se hace

También hay ocasiones en que se habla de anualidades que no tienen pagos iguales, o no se realizan todos los pagos a intervalos iguales. Estos casos se manejan de forma especial.

Clasificación de las anualidades:

Las anualidades se clasifican según ciertos criterios:

Criterio Tipo

Intereses Simples-------Generales

Tiempo Ciertas---------Contingentes

Pagos Ordinarias-----Anticipadas

Iniciación Inmediatas----Diferidas

Anualidad cierta.- Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Por ejemplo:

Al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el último.

Anualidad contingente.- La fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas, no se fijan de antemano; dependen de algún hecho que se sabe que ocurrirá, pero no se sabe cuándo. Un caso común de este tipo de anualidad son las rentas vitalicias que se otorgan a un cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir el cónyuge y se sabe que este morirá, pero no se sabe cuándo.

Anualidad simple.- Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses.

Anualidad general.- Puede ser reducida a una anualidad simple, si hacemos que los periodos de tiempo y los periodos de interés coincidan, hay dos formas como se puede realizar:

1. La primera forma consiste en calcular pagos equivalentes, que deben hacerse en concordancia con los periodos de interés. Consiste en encontrar el valor de los pagos que, hechos al final de cada periodo de interés, sean equivalentes al pago único que se hace al final de un periodo de pago.

2. La segunda forma consiste en modificar la tasa, haciendo uso del concepto de tasas equivalentes, para hacer que coincidan los periodos de interés y de pago.

Las anualidades generales se dividen en dos tipos:

1. Aquellas cuyos pagos se realizan con menor frecuencia que la capitalización de intereses. Por ejemplo, se realizan 4 pagos anuales de $ 55,000.00 cada uno y los intereses se capitalizan cada semestre.

2. Los pagos se realizan con mayor frecuencia que la capitalización de intereses. Por ejemplo, se realizan 6 pagos mensuales de $ 250.00 cada uno y los intereses se capitalizan cada trimestre.

Para resolver un problema de anualidad general es necesario modificarlo de tal manera que los periodos de pago y los periodos de capitalización coincidan. Es decir, es necesario modificar la anualidad general en una anualidad simple equivalente.

Anualidad inmediata.- Es el caso más común. La realización de los cobros o pagos tiene lugar en el periodo inmediatamente siguiente a la formalización del trato: se compra a crédito hoy un artículo que se va a pagar con mensualidades, la primera de las cuales habrá de realizarse en ese momento o un mes después de adquirida la mercancía (anticipada o vencida).

Formulas para calcular el monto y valor actual de anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas:

Monto Valor Actual

A=R

R= renta o pago por periodo

M= monto o valor en el momento de su vencimiento, es el valor de todos los pagos al final de las operaciones. Es el valor futuro de C

n = numero de anualidades o pagos.

C = valor actual o capital de la anualidad. Valor total de los pagos en el momento presente.

J= es la tasa nominal de interés calculada para un periodo de un año. Se expresa en tanto por uno o tanto por ciento.

i= es la tasa de interés por periodo de representa el costo o rendimiento por periodo de capitalización de un capital ya sea producto de un préstamo una cantidad que se invierte. Es el cociente de dividir la tasa nominal entre la frecuencia de conversión m

m= Es la frecuencia de conversión o de capitalización y representa el número de veces que se capitaliza un capital en un año.

n∞= Es el número de años que permanece prestado o invertido un capital.

n= Es el número de periodos de que consta una operación financiera a interés compuesto.

Anualidad vencida.- También se le conoce como anualidad ordinaria y, como su primer nombre lo indica, se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo

Las anualidades vencidas son aquellas que sus pagos son iguales ocurren al finalizar cada periodo, un diagrama de flujo de cada de dichas anualidades se muestra a continuación:

La ecuación que relaciona un valor futuro o Monto (M) con el valor del pago anualizado (R) , una tasa de interés (i) además de una cantidad además de una cantidad determinada de periodos de tiempo (n) es:

Para anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas:

M= R[ (1+i)n - 1]

i

La ecuación que en lugar del Monto relaciona el capital (C) o valor presente, con el pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad determinada de periodos de tiempo (n) es:

C=R 1-(1+i)-n

i

Anualidades anticipadas.- Ocurren al inicio de cada periodo de tiempo, el diagrama de flujo de cada de estas anualidades es el siguiente:

0 1 2 3 4

Donde R representa cada pago y los números en el eje horizontal son los periodos de tiempo transcurridos.

La ecuación que relaciona un valor futuro o Monto (M) con el valor del pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad determinada de periodos de tiempo (n) es:

Para anualidades simples, ciertas, anticipadas e inmediatas:

M=R (1+i)

Esta ecuación equivale a la usada para anualidades vencidas, solo que le añade un periodo (1+i)) ya que el monto total se capitaliza un periodo más.

En el caso del capital la ecuación queda:

C=R 1 + M=R (1+i)

Formulas para calcular el monto futuro de una anualidad simple, cierta, ordinaria

Se conoce la renta, la tasa nominal, la frecuencia de conversión y el plazo de tiempo:

M=R siendo: i= n=n x m

Valor actual de una anualidad ordinaria

Cuando la época de cálculo coincide con la iniciación de la serie de pagos o rentas, el valor equivalente de la serie es actual. El lapso que transcurre entre la fecha de la entrega del valor actual y el vencimiento de la primera anualidad será igual a cada periodo que separa a las demás rentas.

El valor presente o actual de las anualidades ordinarias se puede presentar en alguna de estas dos modalidades:

Como el descuento de una serie de anualidades, que vencen escalonadamente y están separadas por intervalos iguales de tiempo

Como la determinación de un capital que, invertido a interés, proporciona una serie de rentas futuras.

Formulas para calcular el valor presente de una anualidad simple, cierta, ordinaria.

C=R siendo: i= n=nax m

Formulas para calcular la renta de una anualidad simple, cierta, ordinaria

R= siendo: i= n=n x m

Formulas para calcular el tiempo o plazo en una anualidad simple, cierta, ordinaria:

Si se conoce el capital inicial, la renta, la tasa nominal o la tasa efectiva por periodo y la frecuencia de conversión

n= en donde: i=

Si se conoce el monto futuro, la renta, la tasa nominal o la tasa efectiva por periodo y la frecuencia de conversión:

n= en donde: i=

Anualidades diferidas. Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo no comienza sino hasta después de haber transcurrido cierto número de periodos de pago; este intervalo de aplazamiento puede estar dado en años, semestres, etc.

Supongamos por ejemplo, que se difiere 6 años el pago de una anualidad cierta ordinaria; en este caso los pagos comenzarán al final del sexto periodo de la anualidad vencida:

Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo no comienza sino hasta después de haber transcurrido cierto número de periodos de pago; este intervalo de aplazamiento puede estar dado en años, semestres, etc.

Supongamos por ejemplo, que se difiere 6 años el pago de una anualidad cierta ordinaria; en este caso los pagos comenzarán al final del sexto periodo de la anualidad vencida:

La duración de una anualidad diferida es el tiempo que transcurre entre el comienzo del intervalo de aplazamiento y el final del plazo de la anualidad diferida, es decir, comprende dos partes. La primera o preliminar se compone del tiempo comprendido entre el momento actual y el comienzo del plazo de la anualidad (intervalo de aplazamiento t) y la segunda por el plazo de la anualidad n.

Las anualidades diferidas pueden ser vencidas o anticipadas, dependiendo del momento en que tiene lugar el pago.

Monto de anualidades diferidas a una tasa efectiva de interés

El monto de una anualidad diferida, bien sea vencida o anticipada, se calcula con los mismos procedimientos que los de las anualidades vencidas o anticipadas (mismas tasas de interés, plazo, renta, etc.), ya que durante el intervalo de aplazamiento no se gana interés alguno, puesto que no se entrega ningún pago durante el mismo.

Una vez transcurrido el intervalo de aplazamiento, la anualidad diferida no se distingue de cualquier otra anualidad (vencida o anticipada) cuyo plazo ha comenzado; es decir, las fórmulas para anualidades diferidas serán las mismas que se emplearon para calcular anualidades vencidas y anticipadas, debiéndose observar exclusivamente si el primer pago se efectúa al final o al inicio del plazo de la anualidad diferida.

A continuación se presentan las fórmulas de los montos de anualidades diferidas

M=R siendo: i= n=nax m

Caso general de anualidades

Existen casos en los que los periodos de pago no coinciden con los de capitalización. En estas circunstancias, lo primero que se debe hacer es unificar las tasas de interés a los periodos de pago: si los pagos son semestrales, la tasa de interés también debe ser en forma semestral, y así sucesivamente.

Existen dos métodos para convertir las anualidades de tipo general en anualidades simples:

Determinar la tasa de interés equivalente

Determinar la renta equivalente

A su vez, se pueden presentar dos casos en relación a los periodos de depósitos o pagos:

Periodo de pago es más largo que el de la capitalización

Periodo de capitalización es más largo que el periodo de pago

Formulas de tasa equivalente

i= (1+io)-1

i=(1+i )1 -1

Formulas de renta equivalente:

Ro= - 1

Ra= - 1

Después de solucionar los casos generales de anualidades, se hace lo siguiente:

Determinar las tasas o rentas equivalentes, para que tanto la tasa de interés como los pagos estén en la misma unidad de tiempo.

Manejar el problema como una anualidad simple y utilizar la formula respectiva, según la anualidad que corresponda a cada ejercicio.

Amortización

Amortización de una deuda

Desde el punto de vista financiero, se entiende por amortización, el reembolso gradual de una deuda. La obligación de devolver un préstamo recibido de un banco es un pasivo, cuyo importe se va reintegrando en varios pagos diferidos en el tiempo. La parte del capital prestado (o principal) que se cancela en cada uno de esos pagos es una amortización.

Se define como el proceso mediante el cual se extingue gradualmente una deuda y sus intereses por medio de una serie de pagos o abonos al acreedor.

Cada pago o abono efectuado se divide en dos partes: en primer lugar se pagan los intereses adeudados al momento en que se efectúa el pago y el resto se aplica a disminuir el capital o saldo insoluto del capital.

Nomenclatura

C Representa el capital inicial, llamado también principal.

R Es la renta, depósito o pago periódico

J Es la tasa nominal de interés calculada para un periodo de un año. Se expresa en tanto por uno por ciento.

i Es la tasa de interés calculada para un periodo de un año y representa el costo o rendimiento por periodo de capitalización de un capital ya sea producto de un préstamo o de una cantidad que se invierte. Es el cociente de dividir la tasa nominal entre la frecuencia de conversión m

m Es la frecuencia de conversión o de capitalización y representa el número de veces que se capitaliza un capital en un año

na Es el número de años que permanece prestado o invertido un capital

n Es el número de periodos de que consta una operación financiera a interés compuesto

SI Es el saldo insoluto de capital o pendiente de amortizar en cualquier fecha

CA Es el importe de capital por amortizar en cualquier fecha

DAC Son los derechos del acreedor sobre un bien y se obtienen considerando el saldo insoluto de capital a determinada fecha y en forma porcentual

DAD Son los derechos adquiridos por el deudor sobre el bien; y considera la cantidad amortizada a determinada fecha y en forma porcentual.

Determinación del importe del pago periódico para amortizar una deuda.

Se calcula mediante la utilización de la fórmula para el valor presente de una anualidad simple, cierta, ordinaria y se considera una amortización de capital a base de pagos e intervalos de tiempo iguales.

R= Ci/(1-(1+i)-^n ) i= J/m y n=na x m

4.2 Tablas de amortización

La tabla de amortización es un despliegue completo de los pagos que deben hacerse hasta la extinción de la deuda. Una vez que conocemos todos los datos del problema de amortización (saldo de la deuda, valor del pago regular, tasa de interés y número de periodos), construimos la tabla con el saldo inicial de la deuda, desglosamos el pago regular en intereses y pago del principal, deducimos este último del saldo de la deuda en el período anterior, repitiéndose esta mecánica hasta el último período de pago. Si los cálculos son correctos, veremos que al principio el pago corresponde en mayor medida a intereses, mientras que al final el grueso del pago regular es aplicable a la disminución del principal. En el último período, el principal de la deuda deber ser cero.

Por ejemplo:

Un préstamo de $6000.00 se va a amortizar por medio de 6 pagos mensuales iguales. Obtenga el monto mensual si la tasa de interés es del 33% capitalizable mensualmente.

En este problema se nos pide que calculemos el valor de una anualidad cuyo valor presente es de $6000.00.

C=Pi/(1-(1+i) )^(-n) )

C=((6000)0.33/12)/(1-(1+0.33/12)^(-6) )

C= $1098.4250

*cobrar intereses sobre saldos insolutos consiste en cobrar intereses solamente por el capital aún no pagado.

Para amortizar la deuda es necesario realizar 6 pagos mensuales de $ 1098.4250 pesos.

La tabla de amortización muestra la forma como se amortiza una deuda; esto es; nos permite ver como se va reduciendo la deuda con cada abono efectuado.

Mes Amortización2 intereses abono Saldo insoluto

0 6000.00

1 933.42 165000 1098.42 5066.57

2 959.09 139.33 1098.42 4107.48

3 985.49 112.95 1098.42 3122.01

4 1012.56 85.85 1098.42 2109.44

5 1040.41 58.00 1098.42 1069.02

6 1069.02 29.39 1098.42 -0.002

A continuación se explicará la forma como se elaboró la tabla de amortizción

El saldo insoluto, en la columna 5, al principio del primer mes, mes cero, es la deuda original de $6000. El interés vencido al final del prime mes, mes 1, mostrado en la columna 3, se determino utilizando la formula del interés simple

I= (6000)(0.33)/12 x (1)=165

El pago mensual o abono, columna 4, hecho al final del primer mes, es de $1098.42, de los cuales se utilizan $165, para el pago de interés vencido y el resto, $1098.42-165= $933.42, se utiliza como pago al capital (amortización). Al final del primer mes se tiene un saldo insoluto de 6000-933.42= $5066.57

AMORTIZACIÓN=ABONO-INTERESES

Al término del segundo mes, el interés vencido es:

I=(5066.57)(0.33/12)(1)=139.33

Del abono mensual hecho al final del segundo mes, se destinan$139.33 para pagar el interés vencido y el resto, $ 1098.42 - $139.33 = $959.09, como pago al capital. Al final del segundo mes el saldo insoluto es de $ 5066.57 - $959.09 = $4107.48 y así sucesivamente.

Al realizar el pago numero 5, el saldo insoluto de la deuda es de $ 1069.02. por tanto los Derechos adquiridos por el deudor son:

6000 – 1069.02= 4930

El porcentaje de los Derechos Adquiridos por el deudor es:

1069.02/6000=17.81%

Tablas de amortización a línea recta

Este sistema para amortizar deudas se caracteriza porque la parte que se amortiza del capital permanece constante. Por lo tanto el pago periódico ira disminuyendo progresivamente y cada abono será siempre menor que el anterior.

Nomenclatura

R1 Renta

Rk Renta en cualquier periodo

Am Amortización constante

Ak Capital amortizado hasta cualquier periodo

i tasa por periodo

n Numero de periodos totales

k Número de periodos parciales

d Diferencia entre dos rentas sucesivas

I Monto total de intereses

SIk Saldo insoluto del capital en cualquier periodo

Lk Liquidación de deudas en cualquier periodo.

Ejemplo

Una deuda de $50 000.00 se tiene que pagar en 5 meses amortizando $10 000.00 por mes a una tasa del 2.5% mensual. Calcular

El valor de la primera renta

La renta del 3er mes

El pago para liquidar la deuda en el 3er mes

Intereses totales

Elaborar su tabla de amortización.

Calculo de la primera renta:

Formula:

R_1= A^m (1+in)

Datos:

Am= 10000

i= 0.025

n= 5

Solución: R1= 10000(1+0.025)= $ 11,250

Calculo de la renta 3er mes

Formula: R_(k=) R_1-(K-1)d

d= A_m i

Datos:

R1= 11250

k= 3

Am= 10 000

Solución

d= 10000 x 0.025 = 250

R3= 11250 – 2 x 250 = 10750

Liquidación de la deuda 3er. mes:

Formula:

L_k=(n-k) A_m+R_k

Datos:

R_k=10750

k=3

A_m=10 000

n=5

Solución:

L_k=(5-3)10,000+10750=30750

Intereses totales

Formula: I= Ci/2(n+1)

Datos:

C=50 000

i= 0.025

n=5

Solución:

I= (50 000x0.025)/2 (5+1)=3750

Tabla de amortización

Periodo Amortización Monto de intereses Pago mensual Saldo insoluto

0 50 000

1 10 000 1 250 11 250 40 000

2 10 000 1 000 11 000 30 000

3 10 000 750 10 750 20 000

4 10 000 500 10 500 10 000

5 10 000 250 10 250 0

∑ 50 000 3750 53750

En este ejemplo no se incluyeron las columnas de derechos de acreedor (DAC) y de los derechos adquiridos del deudor (DAD) porque no se considera ninguna prenda o activo que garantice el adeudo en el tiempo.

Fondos de amortización

Una suma de dinero que se va acumulando con el fin de obtener un determinado monto se llama fondo de amortización. El fondo de amortización generalmente se forma invirtiendo cantidades iguales al final de periodos iguales; esto significa que el valor del fondo, al final de un cierto tiempo, corresponde al monto de una anualidad ordinaria.

Los fondos de amortización se establecen con el fin de pagar una deuda que vence en fecha futura, para la compra de equipo nuevo que sustituya al equipo depreciado u obsoleto, para los fondos de jubilación, etcétera.

Si bien los fondos de amortización y la amortización de deudas se utilizan con el fin de pagar una obligación, existe una clara diferencia entre ellos: los pagos periódicos de una amortización se destinan a liquidar una deuda que ya se tiene; mientras que los pagos periódicos hechos a un fondo de amortización tienen como objetivo la acumulación con el fin de liquidar una deuda futura.

EJEMPLO 11.10

La vida útil de un cierto equipo industrial que acaba de ser adquirido por una compañía es de 5 años. Con el fin de reemplazarlo al final de este tiempo, la compañia establece un fondo de amortización efectuando depósitos anuales en una cuenta bancaria que paga el 9.6%, anual. Si se estima que el equipo costará 42,740 dólares, halle el valor del depósito.

SOLUCION

Se trata de hallar el pago periódico de una anualidad ordinaria cuyo monto será 42,740 dólares al final de 5 años y cuya tasa de interés es del 9.6'%.

A=Ci/((1+i)^n-1)

El fondo de amortización se forma invirtiendo 7,056.68 dólares al final de cada año, durante 5 años.

Tablas de fondos de amortización

Una tabla de capitalización, llamada también tabla de fondo de amortización, muestra la forma en que se acumula el dinero, periodo tras periodo, en un fondo de amortización.

Tabla de fondo de amortización del ejemplo anterior.

El interés ganado al final del año se obtiene utilizando la fórmula del interés simple, usando como capital la cantidad al inicio del año.

I = (7,056.68) (0.096) (1) = 677.44

El monto al final del año, que es exactamente igual a la cantidad en el fondo al inicio del año, se obtiene sumando la cantidad al inicio del año más el interés ganado más el depósito hecho al final del año:

7,056.68 + 677.44 + 7,056.68 = 14,790.81

Los depósitos hechos al final del año no ganan intereses.

La suma de la columna 'interés ganado" más la suma de la columna "depósito hecho al final del año" es igual al monto o valor futuro de la anualidad:

7,456.58 + 35,283.40 = 42,739.98

La diferencia de 2 centavos se debe al redondeo de las cantidades.

Bibliografía

www.brd.uni.edu.mx

Héctor Vidaurrí Aguirre, Matemáticas Financieras, 4ª Edición.

http://ual.dyndns.org/Biblioteca/Matematicas_Financieras/Pdf/Unidad_14.pdf

Apuntes SUA

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