Aporte 2 trabajo colaborativo calculo Inferencial Unad

MOMENTO 1. RECONOCIMIENTO DEL CURSO

CALCULO DIFERENCIAL

PRESENTADO POR

TUTOR

GRUPO: 10041

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y ADISTANCIA

AÑO 2017

EJERCICIOS CORRESPONDIENTES AL ESTUDIANTE 2. FASE 1

1. De la siguiente sucesión determinar la cota inferior y/o cota superior.

[pic 1]

 (1) [pic 2]

 (2)[pic 3]

Examinemos los primeros términos de la sucesión.

[pic 4]

Por el comportamiento de los términos presentados anteriormente, se puede decir que la sucesión es decreciente y responde a la siguiente expresión . Por lo tanto, por la definición (1), 3 es la cota superior de esta sucesión ya que no existe un número mayor a este en el resto de la secuencia. [pic 5]

Con respecto  a la cota inferior tenemos por definición (2) que m  será el número más bajo que tengan los términos de la sucesión. Para esto se aplica el concepto de límites para la sucesión, así:

[pic 6]

Si se reemplaza la n por ∞ tendríamos una indeterminación. No obstante, aplicando la solución algebraica de dividir cada término de la expresión por n, tenemos que:

[pic 7]

Al reemplazar n por ∞ en la última expresión tenemos que para todo k divido sobre ∞ es 0,  [pic 8]

Por lo tanto, será la cota inferior de esta sucesión. Finalmente, tenemos que la secuencia es acotada por arriba y por abajo.[pic 9]

[pic 10]

1. De la siguiente sucesión determinar si es monótona y si converge o diverge, justifica tu respuesta.

                                            [pic 11]

Primero hallamos la expresión del término general de la sucesión. Observamos que el comportamiento de los términos se da a partir de las potencias de los cuadrados n2. Sin embargo, tenemos que los elementos pares son negativos por lo que la expresión general de esta sucesión es:

[pic 12]

Entonces, los elementos de la secuencia se pueden escribir como

 [pic 13][pic 14]

  y  y así . Pero  y así .         En un sentido más general, consideramos tres elementos consecutivos[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

[pic 20]

Si n es impar,  y  y si n es par,  y .[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

De aquí que la secuencia no es creciente ni decreciente, y por lo tanto, no es monótona.

Ahora bien, para demostrar si es convergente o divergente se puede aplicar el teorema que dice que si una sucesión es monótona y acotada, entonces es convergente. Por lo mostrado anteriormente, la secuencia propuesta no es monótona por lo tanto no cumple una de las condiciones que expresa el teorema por lo que se puede concluir que es divergente. Cabe resaltar que tampoco es acotada, ni por arriba ni por abajo.

1. Problema 7.  Plantee el término general de una progresión geométrica cuyo primer término es 12 y la razón común es 8.  Adicionalmente, encuentre la suma de los cinco primeros términos y el valor del décimo término.

[pic 25]

ya que[pic 26]

[pic 27]

Para hallar el término 10 de la sucesión se reemplaza n por 10 en la expresión del término general, así:

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

La suma de los términos de la sucesión se expresa a partir de la siguiente razón:

[pic 31]

Reemplazando los valores propuestos en la expresión anterior tenemos que:

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

Problema 8.         Encuentre el primer término de una progresión cuya diferencia común es   y la suma de sus tres primeros términos es 10. Adicionalmente, plantee el término general. [pic 35]

...