Aproximación Lineal & Estimación de Error

Aproximación Lineal

& Estimación de Error

INTRODUCCIÓN

La cuantificación del error es una de las preocupaciones principales en análisis numérico.

Hay diversas fuentes de errores, incluyendo error de redondeo, error en los datos, y en la

Incertidumbre propia del modelo. La mayoría de estos errores no se pueden determinar a

Priori, pero es posible calcular cotas en base a métodos per turbativos. Un aspecto importante

Del análisis numérico es construir algoritmos confiables y eficientes, que permitan estimar o

Controlar el error en la solución final dentro de una tolerancia adecuada cuando se soluciona

un problema.

MARCO TEÓRICO

Para desarrollar este tema es necesario volver al tema de la medida, extendiendo el concepto -que ha sido aplicado en artículos anteriores a las cantidades continuas- a las cantidades discretas.

Recordemos que si una magnitud es continua, la medida expresa "el número de veces que una cantidad c contiene a la unidad u discreta. En el caso que la magnitud es discreta, su medida designa el número de objetos de esa cantidad".

Es importante tener en cuenta que el modelo numérico que se aplica a la medida de las cantidades continuas es el conjunto de los números reales. Este modelo permite caracterizar a las cantidades de nuestro entorno físico de manera tal que: "elegida una unidad u, cada cantidad c tiene una medida única a tal que c = a.u. Sin embargo, en la práctica, no siempre es posible asignar un único número a una cantidad, en esos casos, es necesario estimar.

ESTIMACIONES DE ERROR

Se empezaron a desarrollar alrededor de 1970

La teoría clásica se basa en la Regularidad" de los elementos

Por esta razón, la función lineal cuyo gráfica es la recta tangente de

y = f(x)

en un punto especificado

(a, f(a))

se llamada la aproximación lineal de

f(x)

cercano a

x = a.

P ¿Cuál es la fórmula para la aproximación lineal?

R Todo lo que necesitas es la ecuación de la recta tangente en a punto especificado

(a, f(a)).

Ya que la recta tangente en

(a, f(a))

tiene pendiente

f ′(a),

podemos escribir la ecuación utilizando la fórmula punto-pendiente:

y = y0 + m(x − x0)

= f(a) + f ′(a)(x − a)

De este modo, la aproximación lineal de

f(x)

cercana a

x = a

se da por

L(x) = f(a) + f ′(a)(x − a).

En Resumen. En este trabajo se propone la aplicación de un nuevo método para la estimación del error

Inducido por perturbaciones en las condiciones iniciales, basado en la teoría de sistemas adjuntos. A

Partir de dicha técnica se obtiene una aproximación del error independientemente de las perturbaciones

Iniciales, lo cual facilita la estimación del error para sistemas de ecuaciones con gran cantidad de

Parámetros. Además se propone una extensión al método de estimación basada en la utilización de

Funciones estimadora, que permiten transformar el sistema adjunto original en un sistema puramente

Algebraico, para el cual es posible aplicar una gran variedad de métodos numéricos eficientes

Nota Para entender este tema, debes estar familiarizado con derivadas, Comencemos con la observación de que si si se acerca en una porción de una curva suave cercano a un punto especificado, se hace indistinguible de la recta tangente en ese punto. En otras palabras:

Los valores de la función están cercanos a los valores de la función lineal cuya gráfica es la recta tangente.

CONCLUSIONES

De los ejemplos anteriores, se puede ver que la

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