Aproximación de Padé

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN                                                                                              FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA[pic 1][pic 2]

Matemáticas lll

Tarea 3

Lunes 30 de octubre del 2017

Calificación sin ponderar: _______

Aproximación de Padé

La aproximación de Padé es la "mejor" aproximación de una función por una función racional de un orden dado. En virtud de esta técnica, la serie de potencias de la aproximación concuerda con la serie de potencias de la función que se aproxima. La técnica fue desarrollada por Henri Padé.

La aproximación de Padé, da una mejor aproximación de la función que truncar su serie de Taylor, y funciona incluso donde la serie de Taylor no es convergente. Por esta razón las aproximaciones de Padé se usan ampliamente en los cálculos de ordenadores. Han sido también aplicados a las aproximaciones diofantinas, aunque para resultados nítidos, típicamente son reemplazados por métodos en cierto sentido inspirados en la teoría de Padé.

Dada una función f y dos enteros m ≥ 0 y n ≥ 0, la aproximación de Padé de orden (m, n) es la función racional:

               [pic 3]

que concuerda con f(x) en el máximo orden posible, lo que equivale a:

                                                [pic 4]

Equivalentemente, si R(x)se expande en una serie de McLaurin (Serie de Taylor en 0), sus primeros m + n términos cancelarían los primeros m + n términos de f(x), y como tal:

[pic 5]

La Aproximación de Padé es única para determinadas m y n, es decir, los coeficientes p0,p1,….,pm, q1,qn pueden ser determinados de manera unívoca. Esta es la razón por la que el término de orden cero en el denominador de R(x) es 1, ya de otra manera el numerador y denominador de R(x) habrían sido simplemente multiplicandos por la constante q0

A la Aproximación de Padé definida arriba se la denotada también como:

                                                         [pic 6]

Para una x dada, la Aproximación de Padé puede ser calculada por el Algoritmo Épsilon y también por otras secuencias de transformaciones de sus sumas parciales

[pic 7]

de la Serie de Taylor de f, es decir, tenemos:

                                                    [pic 8]

Cabe denotar que f también puede ser una serie formal de potencias y, por lo tanto, la Aproximación e Padé puede ser aplicada también a la sumatoria de series divergentes.

Otros tipos de Padé

• Aproximantes de Padé multipuntuales. Se interpola en una tabla de puntos con una cierta distribución límite.

• Aproximantes tipo Padé. Parte o todos de los polos de las aproximantes se fijan de antemano. Útil cuando se conoce la geometría del conjunto de singularidades de la función.

• Aproximantes Fourier-Padé. Se consideran desarrollos ortogonales y se busca la aproximante racional que tenga el mayor orden de contacto según este desarrollo.

• Aproximantes Hermite-Padé. Aproximación simultánea de funciones.

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