Bases En Rn
Enviado por caos92 • 21 de Agosto de 2014 • 580 Palabras (3 Páginas) • 181 Visitas
BASES ORTONORMALES Y PROYECCIONES EN
En se vio que n vectores linealmente independientes constituyen una base. La base más simple es la base canónica E = {e1, e2, . . . , en}. Estos vectores tienen 2 propiedades:
i. ei ∙ ej = 0 si i≠j
ii. ei ∙ ej = 1
DEFINICIÓN 1 Conjunto ortonormal en
Se dice que un conjunto de vectores S = {u1, u2, . . . ,uk} es un conjunto ortonormal si
ui ∙ uj = 0 si i≠j (1)
ui ∙ uj = 1 (2)
Si sólo satisface la ecuación (1), se dice que el conjunto es ortogonal.
DEFINICIÓN 2 Longitud o norma de un vector
Si v , entonces la longitud o norma de v, denotada por |v|, está dada por
TEOREMA 1
Si S = {v1, v2, . . . ,vk} es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero, entonces S es linealmente independiente.
Demostración:
Suponga que c1v1 + c2v2 + . . . + ckvk = 0. Entonces para cualquier i = 1, 2, . . ., k
0 = 0∙vi = (c1v1 + c2v2 + . . . + civi + . . . + ckvk)∙vi
=c1(v1∙vi) + c2(v2∙vi) + . . . + ci(vi∙vi) + . . . + ck(vk∙vi)
=c10 + c20 + . . . ci|vi|2 + . . . ck0 = ci|vi|2
Como vi ≠ 0 por hipótesis, |vi|2 > 0, y se tiene ci=0. Esto es cierto para i = 1, 2, . . ., k, lo que completa la prueba.
TEOREMA 2
Sea H un subespacio de dimensión m de . Entonces H tiene una base ortonormal.
DEFINICIÓN 3 Matriz ortogonal
Una matriz se llama ortogonal si es invertible y
TEOREMA 3
La matriz es ortogonal si y sólo si las columnas de forman una base ortonormal para .
DEFINICIÓN 4 Proyección ortogonal
Sea H un subespacio de con base ortonormal {u1, u2, . . . ,uk} Si v , entonces la proyección ortogonal de v sobre H denotada por proyH v, está dada por
proyH v = (v∙u1)u1 + (v∙u2)u2 + . . . + (v∙uk)uk
Nota: proyH v
TEOREMA 4
Sea B = {u1,
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