Cinematica De Cuerpo Rigido

MATERIA: DINÁMICA I T S A CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON

UNIDAD: II PAG : 1 CINEMATICA DE CUERPO RÍGIDO

UNIDAD I

C CI IN NE EM MA AT TI IC CA A D DE E C CU UE ER RP PO OS S R RÍ ÍG GI ID DO OS S En el estudio del movimiento rectilíneo y curvilíneo visto anteriormente, cada uno de los cuerpos considerados se trataba como una partícula, pero en general todos los cuerpos están formados por un gran número de partículas. En mecánica elemental se supone que la mayoría de los cuerpos son rígidos, siendo cuerpo rígido aquel que no se deforma. Los diferentes tipos de movimientos de un cuerpo rígido pueden agruparse como sigue: TRASLACION: Se dice que un movimiento es de traslación si cualquier línea recta de un cuerpo permanece en la misma dirección durante el movimiento. Puede observarse también que en una traslación todas las partículas que forman el cuerpo se mueven a lo largo de trayectorias paralelas. Si estas trayectorias son líneas rectas, se dice que el movimiento es una traslación rectilínea (figura a). Si las trayectorias son líneas curvas, el movimiento es una traslación curvilínea (figura b).

Figura (a) Figura (b)

ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE FIJO: En este movimiento las partículas que forman el cuerpo rígido se mueven en planos paralelos a lo largo de círculos centrados sobre el mismo eje fijo. Si este eje, llamado eje de rotación, interseca al cuerpo rígido, las partículas localizadas sobre el eje tienen velocidad y aceleración cero. La rotación no debe confundirse con ciertos tipos de traslación curvilínea. Por ejemplo, la placa mostrada en el inciso a) está en traslación curvilínea con todas sus partículas en movimiento a lo largo de círculos paralelos mientras que la placa mostrada en el inciso b) esta en rotación con todas sus partículas en movimiento a lo largo de círculos concéntricos. En el primer caso, cualquier línea recta trazada sobre la placa permanecerá en la misma dirección mientras que en el segundo caso el punto O permanece fijo.

MATERIA: DINÁMICA I T S A CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON

UNIDAD: II PAG : 2 CINEMATICA DE CUERPO RÍGIDO

MOVIMIENTO PLANO EN GENERAL: A cualquier movimiento plano que no es ni una rotación ni una traslación se le llama movimiento plano en general. Todas las partículas del cuerpo se mueven en planos paralelos.

MOVIMIENTO CON RESPECTO A UN PUNTO FIJO: Este es el movimiento tridimensional de un cuerpo rígido unido a un punto fijo O. Un ejemplo de este movimiento con respecto a un punto fijo se encuentra en el movimiento de un trompo sobre una superficie rugosa.

MOVIMIENTO GENERAL: A cualquier movimiento de un cuerpo rígido que no cae en ninguna de las categorías anteriores se le llama movimiento general.

MATERIA: DINÁMICA I T S A CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON

UNIDAD: II PAG : 3 CINEMATICA DE CUERPO RÍGIDO

M MO OV VI IM MI IE EN NT TO O D DE E R RO OT TA AC CI IO ON N D DE E U UN N C CU UE ER RP PO O R RI IG GI ID DO O Cuando un objeto extendido, como una rueda, gira alrededor de su eje, el movimiento no puede analizase si el objeto es considerado como una partícula, puesto que en cualquier tiempo diferentes partes del objeto tienen velocidades y aceleraciones distintas. Por esta razón, es conveniente considerar un objeto extendido como un gran número de partículas, cada una con su propia velocidad y aceleración. Al tratar la rotación de un objeto, el análisis se simplifica de manera considerable al suponer que el objeto es rígido. Un objeto rígido se define como uno que no es deformable, o en otras palabras, uno en que la separación entre todos los pares de partículas permanece constante.

ROTACION CON RESPECTO A UN EJE FIJO Consideremos un cuerpo rígido que gira con respecto a un eje fijo AA’. Sea P un punto del cuerpo y r su vector de posición con respecto a un sistema de referencia fijo. Se supone que el sistema está centrado en el punto O sobre AA’ y que el eje Z coincide con AA’. Sea B la proyección de P sobre AAA; como P debe permanecer a una distancia constante de B, describirá un círculo de centro B y de radio rsen, donde  representa el ángulo formado por r y AA’.

La posición de P y de todo el cuerpo está definida completamente por el ángulo  que forma la línea BP con el plano zx. El ángulo  se conoce como coordenada angular del cuerpo. La coordenada angular se define como positiva cuando se recorre en sentido contrario a las manecillas del reloj vista desde A; se expresa en radianes (rad), grados () o revoluciones (rev)

1 rev = 2 rad = 360

La velocidad v = dr/dt de una partícula P es un vector tangente a la trayectoria de P y de magnitud v =ds/dt. Observando que la longitud s del arco descrito por P cuando el cuerpo gira hasta  es

Y dividiendo ambos miembros entre t, obtenemos en el límite cuando t tiende a cero,

Donde representa la derivada de  respecto al tiempo. La velocidad v de P es un vector perpendicular al plano que contiene a AA’ y r, de magnitud v definida por la ecuación anterior. Este resultado es el mismo que se obtendría si se trazara a lo largo de AA’ un vecto = k y se formase el producto vectorial  x r. Entonces se escribe

El vector

 )senr()BP(s

  senr dt ds

v    

r

dt dr v x ω  k k

MATERIA: DINÁMICA I T S A CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON

UNIDAD: II PAG : 4 CINEMATICA DE CUERPO RÍGIDO

se llama velocidad angular del cuerpo. Está dirigida a lo largo del eje de rotación y es igual en magnitud a la rapidez de cambio de  de la coordenada angular y su sentido puede obtenerse por la regla de la mano derecha del sentido de rotación del cuerpo. El vector d/dt se representa por  y se llama aceleración angular del cuerpo. La aceleración angular de un cuerpo rígido que gira con respecto a un eje fijo es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación e igual en magnitud a la rapidez de cambio  de la velocidad angular La aceleración a de la partícula P es

El primer vector es igual al producto vectorial xr; es tangente al círculo descrito por P y representa la componente tangencial de la aceleración. El segundo vector es igual al triple producto vectorial x(xr) y se dirige hacia el centro B del círculo. Representa a la componente normal de la aceleración.

ECUACIONES QUE DEFINEN LA ROTACION DE UN CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO Decimos que se conoce el movimiento de un cuerpo rígido que gira con respecto a un eje fijo AA’, cuando su coordenada angular  puede expresarse como una función conocida de t. En la práctica, las condiciones de movimiento se especificarán por el tipo de aceleración angular que el cuerpo posee. Por ejemplo,  puede darse como una función de t, como una función de  o como función de .

Estas ecuaciones son similares a las obtenidas para el movimiento rectilíneo de una partícula y se pueden integrar de la misma manera. Con frecuencia se encuentran dos casos especiales de rotación:

ROTACION UNIFORME: Este caso se caracteriza por el hecho de que la aceleración angular es cero. La velocidad angular es por tanto constante y la coordenada angular está dada por la fórmula:

Esta fórmula sólo puede utilizarse cuando =0

ROTACION UNIFORMEMENTE ACELERADA: En este caso la aceleración angula es constante. Las fórmulas siguientes relacionan a la velocidad angular y el tiempo y son similares a las obtenidas para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

dt d  2 2 dt d dt d      



d d

t

0 

)xr(xXra 

MATERIA: DINÁMICA I T S A CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON

UNIDAD: II PAG : 5 CINEMATICA DE CUERPO RÍGIDO

Estas fórmulas sólo pueden utilizarse cuando =constante RELACIONES ENTRE CANTIDADES ANGULARES Y LINEALES En está parte se analizarán algunas relaciones útiles entre la velocidad y aceleración angulares de un objeto rígido rotatorio y la velocidad y aceleración lineales de un punto arbitrario en el objeto. Debe recordarse que cuando un objeto rígido gira alrededor de un eje fijo, toda partícula del objeto se mueve en un círculo cuyo centro es el eje de rotación. Podemos relacionar la velocidad angular del objeto en rotación con la velocidad tangencial del punto P sobre el objeto. Puesto que P se mueve en un círculo el vector de velocidad lineal v siempre es tangente a la trayectoria circular, de ahí el concepto de velocidad tangencial:

...