Cinematica De Cuerpo Rigido

MATERIA: DINÁMICA I T S A CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON

UNIDAD: II PAG : 1 CINEMATICA DE CUERPO RÍGIDO

UNIDAD I

C CI IN NE EM MA AT TI IC CA A D DE E C CU UE ER RP PO OS S R RÍ ÍG GI ID DO OS S En el estudio del movimiento rectilíneo y curvilíneo visto anteriormente, cada uno de los cuerpos considerados se trataba como una partícula, pero en general todos los cuerpos están formados por un gran número de partículas. En mecánica elemental se supone que la mayoría de los cuerpos son rígidos, siendo cuerpo rígido aquel que no se deforma. Los diferentes tipos de movimientos de un cuerpo rígido pueden agruparse como sigue: TRASLACION: Se dice que un movimiento es de traslación si cualquier línea recta de un cuerpo permanece en la misma dirección durante el movimiento. Puede observarse también que en una traslación todas las partículas que forman el cuerpo se mueven a lo largo de trayectorias paralelas. Si estas trayectorias son líneas rectas, se dice que el movimiento es una traslación rectilínea (figura a). Si las trayectorias son líneas curvas, el movimiento es una traslación curvilínea (figura b).

Figura (a) Figura (b)

ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE FIJO: En este movimiento las partículas que forman el cuerpo rígido se mueven en planos paralelos a lo largo de círculos centrados sobre el mismo eje fijo. Si este eje, llamado eje de rotación, interseca al cuerpo rígido, las partículas localizadas sobre el eje tienen velocidad y aceleración cero. La rotación no debe confundirse con ciertos tipos de traslación curvilínea. Por ejemplo, la placa mostrada en el inciso a) está en traslación curvilínea con todas sus partículas en movimiento a lo largo de círculos paralelos mientras que la placa mostrada en el inciso b) esta en rotación con todas sus partículas en movimiento a lo largo de círculos concéntricos. En el primer caso, cualquier línea recta trazada sobre la placa permanecerá en la misma dirección mientras que en el segundo caso el punto O permanece fijo.

MATERIA: DINÁMICA I T S A CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON

UNIDAD: II PAG : 2 CINEMATICA DE CUERPO RÍGIDO

MOVIMIENTO PLANO EN GENERAL: A cualquier movimiento plano que no es ni una rotación ni una traslación se le llama movimiento plano en general. Todas las partículas del cuerpo se mueven en planos paralelos.

MOVIMIENTO CON RESPECTO A UN PUNTO FIJO: Este es el movimiento tridimensional de un cuerpo rígido unido a un punto fijo O. Un ejemplo de este movimiento con respecto a un punto fijo se encuentra en el movimiento de un trompo sobre una superficie rugosa.

MOVIMIENTO GENERAL: A cualquier movimiento de un cuerpo rígido que no cae en ninguna de las categorías anteriores se le llama movimiento general.

MATERIA: DINÁMICA I T S A CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON

UNIDAD: II PAG : 3 CINEMATICA DE CUERPO RÍGIDO

M MO OV VI IM MI IE EN NT TO O D DE E R RO OT TA AC CI IO ON N D DE E U UN N C CU UE ER RP PO O R RI IG GI ID DO O Cuando un objeto extendido, como una rueda, gira alrededor de su eje, el movimiento no puede analizase si el objeto es considerado como una partícula, puesto que en cualquier tiempo diferentes partes del objeto tienen velocidades y aceleraciones distintas. Por esta razón, es conveniente considerar un objeto extendido como un gran número de partículas, cada una con su propia velocidad y aceleración. Al tratar la rotación de un objeto, el análisis se simplifica de manera considerable al suponer que el objeto es rígido. Un objeto rígido se define como uno que no es deformable, o en otras palabras, uno en que la separación entre todos los pares de partículas permanece constante.

ROTACION CON RESPECTO A UN EJE FIJO Consideremos un cuerpo rígido que gira con respecto a un eje fijo AA’. Sea P un punto del cuerpo y r su vector de posición con respecto a un sistema de referencia fijo. Se supone que el sistema está centrado en el punto O sobre AA’ y que el eje Z coincide con AA’. Sea B la proyección de P sobre AAA; como P debe permanecer a una distancia constante de B, describirá un círculo de centro B y de radio rsen, donde  representa el ángulo formado por r y AA’.

La posición de P y de todo el cuerpo está definida completamente por el ángulo  que forma la línea BP con el plano zx. El ángulo  se conoce como coordenada angular del cuerpo. La coordenada angular se define como positiva cuando se recorre en sentido contrario a las manecillas del reloj vista desde A; se expresa en radianes (rad), grados () o revoluciones (rev)

1 rev = 2 rad = 360

La velocidad v = dr/dt de una partícula P es un vector tangente a la trayectoria de P y de magnitud v =ds/dt. Observando que la longitud s del arco descrito por P cuando el cuerpo gira hasta  es

Y dividiendo ambos miembros entre t, obtenemos en el límite cuando t tiende a cero,

Donde representa la derivada de  respecto al tiempo. La velocidad v de P es un vector perpendicular al plano que contiene a AA’ y r, de magnitud v definida por la ecuación anterior. Este resultado es el mismo que se obtendría si se trazara a lo largo de AA’ un vecto = k y se formase el producto vectorial  x r. Entonces se escribe

El vector

 )senr()BP(s

  senr dt ds

v    

r

dt dr v x ω  k k

MATERIA: DINÁMICA I T S A CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON

UNIDAD: II PAG : 4 CINEMATICA DE CUERPO RÍGIDO

se llama velocidad angular del cuerpo. Está dirigida a lo largo del eje de rotación y es igual en magnitud a la rapidez de cambio de  de la coordenada angular y su sentido puede obtenerse por la regla de la mano derecha del sentido de rotación del cuerpo. El vector d/dt se representa por  y se llama aceleración angular del cuerpo. La aceleración angular de un cuerpo rígido que gira con respecto a un eje fijo es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación e igual en magnitud a la rapidez de cambio  de la velocidad angular La aceleración a de la partícula P es

El primer vector es igual al producto vectorial xr; es tangente al círculo descrito por P y representa la componente tangencial de la aceleración. El segundo vector es igual al triple producto vectorial x(xr) y se dirige hacia el centro B del círculo. Representa a la componente normal de la aceleración.

ECUACIONES QUE DEFINEN LA ROTACION DE UN CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO Decimos que se conoce el movimiento de un cuerpo rígido que gira con respecto a un eje fijo AA’, cuando su coordenada angular  puede expresarse como una función conocida de t. En la práctica, las condiciones de movimiento se especificarán por el tipo de aceleración angular que el cuerpo posee. Por ejemplo,  puede darse como una función de t, como una función de  o como función de .

Estas ecuaciones son similares a las obtenidas para el movimiento rectilíneo de una partícula y se pueden integrar de la misma manera. Con frecuencia se encuentran dos casos especiales de rotación:

ROTACION UNIFORME: Este caso se caracteriza por el hecho de que la aceleración angular es cero. La velocidad angular es por tanto constante y la coordenada angular está dada por la fórmula:

Esta fórmula sólo puede utilizarse cuando =0

ROTACION UNIFORMEMENTE ACELERADA: En este caso la aceleración angula es constante. Las fórmulas siguientes relacionan a la velocidad angular y el tiempo y son similares a las obtenidas para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

dt d  2 2 dt d dt d      



d d

t

0 

)xr(xXra 

MATERIA: DINÁMICA I T S A CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON

UNIDAD: II PAG : 5 CINEMATICA DE CUERPO RÍGIDO

Estas fórmulas sólo pueden utilizarse cuando =constante RELACIONES ENTRE CANTIDADES ANGULARES Y LINEALES En está parte se analizarán algunas relaciones útiles entre la velocidad y aceleración angulares de un objeto rígido rotatorio y la velocidad y aceleración lineales de un punto arbitrario en el objeto. Debe recordarse que cuando un objeto rígido gira alrededor de un eje fijo, toda partícula del objeto se mueve en un círculo cuyo centro es el eje de rotación. Podemos relacionar la velocidad angular del objeto en rotación con la velocidad tangencial del punto P sobre el objeto. Puesto que P se mueve en un círculo el vector de velocidad lineal v siempre es tangente a la trayectoria circular, de ahí el concepto de velocidad tangencial:

Aunque todo punto sobre el objeto rígido tiene la misma velocidad angular, no todos los puntos tienen la misma velocidad lineal. Se puede relacionar la aceleración angular del objeto rígido rotatorio a la aceleración tangencial del punto P de la siguiente manera:

En la unidad I, se estudió que un punto que rota en una trayectoria circular experimenta una aceleración centrípeta o radial, de magnitud, v2/r dirigida hacia el centro de rotación:

La aceleración total del punto es a= ar + at. Por tanto, la magnitud de la aceleración lineal del punto P sobre el objeto rígido rotatorio es:

EJEMPLO 1: Una rueda gira con una aceleración angular constante de 3.50 rad/s2. Si la velocidad angular de la rueda es de 2.00 rad/s en t0=0 a) ¿Qué ángulo barre la rueda durante 2 seg? B) ¿Cuál es la velocidad angular en t=2 seg? EJEMPLO 2: La tornamesa de un tocadiscos gira inicialmente a razón de 33 rev/min y tarda 20 seg en detenerse. A) ¿Cuál es la aceleración angular de la tornamesa suponiendo que la aceleración es uniforme? B) ¿Cuántas revoluciones efectúa la tornamesa antes de detenerse? C) Si el radio de la tornamesa es de 14 cm, ¿Cuáles son las magnitudes de las componentes radial y tangencial de la aceleración lineal en un punto sobre la orilla en t=0? EJEMPLO 3: Un volante de inercia incrementa su rapidez angular uniformemente de 15 rad/s a 60 rad/s en 80 s. Si el diámetro de la rueda es de 2 ft, determine las magnitudes de las componentes normal y tangencial de la aceleración de un punto en el borde de la misma cuando t=80 s y la distancia total que el punto recorre en ese tiempo.

)(2

t

2 1

t

t

0

2

0

2

o0

0







 rv

 ra t

2

2 r r r v a  

42422222 rr   raaa rt

MATERIA: DINÁMICA I T S A CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON

UNIDAD: II PAG : 6 CINEMATICA DE CUERPO RÍGIDO

EJEMPLO 4: La carga B está conectada a una polea doble por uno de los dos cables inextensibles mostrados en la figura. El movimiento de la polea es controlado por el cable C que tiene una aceleración constante de 9 in/s2 y una velocidad inicial de 12 in/s, ambas dirigidas hacia la derecha. Determínese: a) el número de revoluciones efectuadas por la polea en 2 s, b) la velocidad y el cambio en la posición de la carga B después de 2 s, y c) la aceleración del punto D sobre el borde de la polea interior en t = 0.

EJEMPLO 5: Una banda transportadora que pasa sobre una polea loca de 6 in de radio mueve una serie de componentes pequeños de una máquina. En el instante mostrado, la velocidad del punto A es de 15 in/s hacia la izquierda y su aceleración es de 9 in/s2 hacia la derecha. Determine a) la velocidad angular y la aceleración angular de la polea loca, b) la aceleración total del componente de máquina en B.

EJEMPLO 6: El disco A arranca desde el reposo y gracias a un motor comienza a girar con una aceleración angular constante de A= 2 rad/s2. Si no ocurre deslizamiento alguno entre los discos, determine la velocidad y aceleración angulares del disco B un instante después de que A da 10 revoluciones.

MATERIA: DINÁMICA I T S A CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON

UNIDAD: II PAG : 7 CINEMATICA DE CUERPO RÍGIDO

 rvrx A/BA/BA/B kV ω

MOVIMIENTO GENERAL EN EL PLANO Por movimiento plano general se entiende un movimiento plano que no es de traslación ni de rotación. Un movimiento plano general siempre se puede considerar como la suma de una traslación y una rotación. Considérese una rueda que gira sobre una pista recta. En un cierto intervalo de tiempo, dos puntos dados A y B se habrán desplazado, respectivamente, desde A1 hasta A2 y desde B1 hasta B2. Se podría obtener el mismo resultado mediante una traslación que desplazara a A y B hasta A2 y B1’ (la línea AB permanece vertical), seguida por una rotación alrededor que desplazara a B hasta B2. Si bien el movimiento de rodamiento original difiere de la combinación de traslación y rotación cuando estos movimientos se realizan en sucesión, el movimiento original se puede duplicar con exactitud mediante una combinación simultánea de traslación y rotación.

VELOCIDAD ABSOLUTA Y VELOCIDAD RELATIVA EN EL MOVIMIENTO PLANO Cualquier movimiento plano de una placa puede ser reemplazado por una traslación definida por el movimiento de un punto de referencia arbitrario A y una rotación simultánea en torno de A. La velocidad absoluta VB de una partícula B de la placa se obtiene con la fórmula para la velocidad relativa

donde el miembro de la derecha representa una suma vectorial. La velocidad VA corresponde a la traslación de la placa junto con A, mientras que la velocidad relativa VB/A está asociada con la rotación de la placa en torno de A, y se mide con respecto a ejes centrados en A y de orientación fija. Si rB/A denota el vector de posición de B con respecto a A, y k denota la velocidad angular de la placa con respecto a los ejes de orientación fija, con las ecuaciones y se obtiene ABAB vvv /  r x kv ω ωrv 

MATERIA: DINÁMICA I T S A CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON

UNIDAD: II PAG : 8 CINEMATICA DE CUERPO RÍGIDO

 rvrV A/BA/BA/B x kω

k A/BAB rxvv ω 

donde r es la distancia de A a B. Si se substituye VB/A de en también se puede escribir:

Se debe de tener en cuenta que la velocidad angular  de un cuerpo rígido en movimiento plano es independiente del punto de referencia. La mayoría de los mecanismos se componen no de una, sino de varias partes móviles. Cuando las diversas partes de un mecanismo se conectan por medio de pasadores, el análisis del mecanismo se puede realizar considerando cada una de las partes como un cuerpo rígido, teniendo en cuenta que los puntos de conexión deben tener la misma velocidad absoluta. Se puede utilizar un análisis similar cuando se trata de engranes, puesto que los dientes que están en contacto también debe tener la misma velocidad absoluta. Sin embargo, cuando un mecanismo contiene partes que se deslizan entre sí, se debe considerar la velocidad relativa de las partes en contacto.

METODOLOGÍA I. Siempre que sea posible, determine la velocidad de los puntos del cuerpo donde esté conectado a otro cuyo movimiento se conoce. El otro cuerpo puede ser un brazo o una manivela que gira con una velocidad angular dada. II. Dibuje una “ecuación de diagramas” que se utilizará en la solución. Esta “ecuación” se compondrá de los siguientes diagramas: a) Diagrama de movimiento plano: Dibuje un diagrama del cuerpo con todas las direcciones y los puntos de los que se sabe o se busca la velocidad. b) Diagrama de traslación: Seleccione un punto de referencia A del cual se conoce la dirección y/o la magnitud de la velocidad VA, y dibuje un segundo diagrama que muestre el cuerpo en traslación con todos sus puntos desplazándose a la misma velocidad VA. c) Diagrama de rotación: Considere el punto A como punto fijo y dibuje un diagrama que muestre el cuerpo en rotación con respecto a A. Muestre la velocidad angular =k del cuerpo y las velocidades relativas con respecto a A de los demás puntos, tal como la velocidad VB/A de B con respecto a A.

III. Escriba la fórmula de la velocidad relativa

A /BAB vvv +=

ABAB vvv / 

MATERIA: DINÁMICA I T S A CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON

UNIDAD: II PAG : 9 CINEMATICA DE CUERPO RÍGIDO

Esta ecuación vectorial se puede resolver analíticamente escribiendo las ecuaciones escalares correspondientes, pero casi siempre será más fácil de resolver con un triángulo de vectores.

IV. Se puede usar un punto de referencia diferente para obtener una solución equivalente. Por ejemplo, si se selecciona el punto B como punto de referencia, la velocidad del punto A se expresa como:

EJEMPLO 1: El engrane doble mostrado rueda sobre la cremallera estacionaria inferior; la velocidad de su centro A es de 1.2 m/s con dirección hacia la derecha. Determínese a) la velocidad angular del engrane, b) las velocidades de la cremallera superior R y el punto D del engrane.

EJEMPLO 2: En el mecanismo mostrado, la manivela AB tiene una velocidad angular constante en el sentido de las manecillas del reloj de 2000 rpm. Para la posición indicada en la manivela, determínese a) la velocidad angular de la biela BD, b) la velocidad del pistón P.

B/ABA vvv +=

MATERIA: DINÁMICA I T S A CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON

UNIDAD: II PAG : 10 CINEMATICA DE CUERPO RÍGIDO

 r)arx) tA/BA/BtA/B ( k(a 2 nA/BA/B 2 nA/B r)ar)   ( (a

A/BA/BAB xaa r - r k 2 

tn )a )a B/AB/AAB ((aa 

ACELERACION ABSOLUTA Y ACELERACION RELATIVA EN EL MOVIMIENTO PLANO Cualquier movimiento plano de una placa puede ser reemplazado por una traslación definida por el movimiento de un punto de referencia arbitrario A y una rotación simultánea con respecto de A. Esta propiedad se utilizará para determinar la aceleración de los puntos de una placa. La aceleración absoluta aB de una partícula de la placa se puede obtener con la fórmula para la aceleración relativa

donde el miembro del lado derecho representa una suma de vectores. La aceleración aA corresponde a la traslación de la placa junto con A, mientras que la aceleración relativa aB/A tiene que ver con la rotación de la placa en torno de A, y se mide con respecto a ejes con centro en A y de orientación fija. La aceleración relativa aB/A se puede transformar en dos componentes: una componentes tangencial (aB/A) t perpendicular a la línea AB, y una componente normal (aB/A) n dirigida hacia A. Si rB/A denota el vector de posición de B con respecto a A, y k y k denotan, respectivamente, la velocidad angular y la aceleración angular de la placa con respecto a ejes de orientación fija, se tiene

donde r es la distancia de A a B. Si se sustituyen en la ecuación las expresiones obtenidas para las componentes tangencial y normal de aB/A , también se puede escribir.

Cuando un mecanismo se compone de varias partes móviles conectadas con pasadores, el análisis del mecanismo se realiza considerando cada una de las partes como un cuerpo rígido, teniendo en cuenta que los puntos de conexión entre dos partes debe tener la misma aceleración absoluta. En le caso de los engranes dentados, las componentes tangenciales de las aceleraciones de los dientes en contacto son iguales, aunque sus componentes normales sean diferentes. METODOLOGÍA Para resolver problemas que implican aceleraciones en movimiento plano, se deben tomar los siguientes pasos:

A/BAB aaa 

A/BAB aaa 

MATERIA: DINÁMICA I T S A CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON

UNIDAD: II PAG : 11 CINEMATICA DE CUERPO RÍGIDO

tn )a )a B/AB/AAB ((aa  a B/AAB aa 

I. Determinar la velocidad angular del cuerpo. Para hallar  se puede a) Considerar el movimiento del cuerpo como la suma de una traslación y una rotación. b) Utilizar el centro de rotación instantáneo del cuerpo. Sin embargo, tengase en cuenta que no se puede usar el centro instántaneo para determinar aceleraciones.

II. Iniciar dibujando una “ecuación de diagramas” para usarla en la solución. Esta “ecuación” incluirá los siguientes diagramas:

c) Diagrama de movimiento plano: Dibujar el cuerpo, incluidas todas las dimensiones, lo mismo que la velocidad angular . Mostrar la aceleración angular  con su magnitud y sentido, si se conoce. Mostrar los puntos de los que se conozca o se busque las aceleraciones, e indicar todos los datos conocidos sobre estas aceleraciones. d) Diagrama de traslación: Elegir un punto de referencia A del que se conozca la dirección, la magnitud o una componente de la aceleración aA. Dibujar un segundo diagrama que muestre el cuerpo en traslación, con cada uno de sus puntos sometidos a la misma aceleración que el punto A.

e) Diagrama de rotación: Si se considera el punto A como un punto de referencia fijo, dibujar un tercer diagrama que muestre el cuerpo en rotación en torno de A. indique las componentes normales y tangenciales de las aceleraciones relativas de otros puntos, tales como las componentes (aB/A) n y (aB/A) t de la aceleración del punto B con respecto al punto A.

III. Escriba la fórmula de la aceleración relativa

a. Si se da , las aceleraciones pueden determinarse con facilidad, se puede usar esta ecuación para determinar las aceleraciones de varios puntos del cuerpo.

MATERIA: DINÁMICA I T S A CAT: ING. GRISELDA PONCE DE LEON

UNIDAD: II

...