CINEMÁTICA DE LA VIBRACIÓN

UNIDAD 1.- CINEMÁTICA DE LA VIBRACIÓN

Grados de libertad.

Los grados de libertad son el número mínimo de velocidades generalizadas independientes necesarias para definir el estado cinemático de un mecanismo o sistema mecánico. El número de grados de libertad coincide con el número de ecuaciones necesarias para describir el movimiento. En caso de ser un sistema homónimo, coinciden los grados de libertad con las coordenadas independientes.

En mecánica clásica y lagrangiana, la dimensión del espacio de configuración es igual a dos veces el número de grados de libertad GL, d = 2•GL.

Grados de libertad en mecanismos planos

Para un mecanismo plano cuyo movimiento tiene lugar sólo en dos dimensiones, el número de grados de libertad del mismo se pueden calcular mediante el criterio de Grübler-Kutzbach:

Donde:

, movilidad.

, número de elementos (eslabones, barras, piezas, etc.) de un mecanismo.

, número de uniones de 1 grado de libertad.

, número de uniones de 2 grados de libertad.

Importante: esta fórmula es válida sólo en el caso de que no existan enlaces redundantes, es decir enlaces que aparecen físicamente en el mecanismo pero no son necesarios para el movimiento de éste. Para poder emplear el criterio, debemos eliminar los enlaces redundantes y calcular entonces los grados de libertad del mecanismo.

Todas las partes fijas (uniones al suelo) se engloban como el primer elemento. Aunque el grado de libertad de algunas uniones es fácil de visualizar, en otras ocasiones se pueden cambiar por sistemas equivalentes.

Grados de libertad en estructuras

Podemos extender la definición de grados de libertad a sistemas mecánicos que no tienen capacidad de moverse, llamados estructuras fijas. En el caso particular de estructuras de barras en d dimensiones, si n es el número de barras y existen m restricciones (uniones entre barras o apoyos) que eliminan cada una r_i grados de libertad de movimiento; definimos el número de grados de libertad aparentes como:

GL: Grados de libertad del mecanismo.

n: Número de elementos de barras de la estructura.

r_i: Número de grados de libertad eliminados por la restricción .

En función de la anterior suma algebraica podemos hacer una clasificación de los sistemas mecánicos formados a base de barras:

Estructuras hiperestáticas, cuando GL > 0.

Estructuras isostáticas, cuando GL = 0.

Mecanismos, cuando GL < 0.

Movimiento armónico y su representación

Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación

x = A sen (ωt + φ)

Donde

A es la amplitud.

ω La frecuencia angular o pulsación.

ωt + φ la fase.

φ o φ_0 la fase inicial.

Características de un M.A.S. son:

Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre +A y -A.

La función seno es periódica y se repite cada 2π, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2π, es decir, cuando transcurre un tiempo T tal que

ω(t+T)+φ=ω t+φ+2π .

T = 2π/ω

Cinemática de un M.A.S.

En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.

La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación

x = A sen (ω t + φ)

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil

v = A

3ω cos (ω t +φ)

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil

a = - A ω^2 sen (ω t + φ ) = - ω^2 x

Condiciones iniciales

Conociendo la pulsación ω, la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 (en el instante t=0).

x_0=A•senφ

v_0=Aω•cosφ

Se puede determinar la amplitud A y la fase inicial φ

Dinámica de un M.A.S.

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.

F = m a = - m ω^2 x

En la ecuación anterior vemos que la fuerza que origina un movimiento armónico simple es una fuerza del tipo:

F = -K x

Es decir una fuerza como la que hace un muelle, directamente proporcional a la elongación pero de signo contrario. K es la constante recuperadora o constante de elasticidad y se puede observar, en las dos ecuaciones anteriores, que está relacionada con la pulsación:

K = m ω^2

Teniendo en cuenta que ω= 2π / T podemos deducir el periodo del movimiento armónico simple:

Como se origina un m.a.s.

Siempre que sobre una partícula, desplazada una longitud x de su posición de equilibrio, actúe una fuerza que es proporcional al desplazamiento x, y de sentido contrario a éste, tal como se muestra en el ejemplo de la figura

Energía de un M.A.S.

En el m.a.s. la energía se transforma continuamente de potencial en cinética y viceversa.

En los extremos solo hay energía potencial puesto que la velocidad es cero y en el punto de equilibrio solo hay energía cinética. En cualquier otro punto, la energía correspondiente a la partícula que realiza el m.a.s. es la suma de su energía potencial más su energía cinética.

Toda partícula sometida a un movimiento armónico simple posee una energía mecánica que podemos descomponer en: Energía Cinética (debida a que la partícula está en movimiento) y Energía Potencial (debida a que el movimiento armónico es producido por una fuerza conservativa).

Si tenemos en cuenta el valor de la energía cinética

Ec = 1/2 m v^2

Y el valor de la velocidad del m.a.s.

v = dx / dt = Aω cos (w t +φ_0)

Sustituyendo obtenemos

Ec = 1/2 m v^2 = 1/2 m A^2 w^2 c〖os〗^2 (ω t +φ_0)

Ec = 1/2 k A^2 〖cos〗^2 (ω t + φ_0)

A partir de la ecuación fundamental de la trigonometría:

〖sen〗^2 + c〖os〗^2 = 1

Ec = 1/2 k A^2 [ 1 - sen^2 (ω t + φ_0)]

Ec = 1/2 k[ A^2 - A^2 sen^2 (ω t + φ_0)]

De donde la energía cinética de una partícula sometida a un m.a.s. queda

Ec = 1/2 k [ A^2 - x^2]

Observamos que tiene un valor periódico, obteniéndose su valor máximo cuando la partícula se encuentra en la posición de equilibrio, y obteniéndose su valor mínimo en el extremo de la trayectoria.

La energía potencial en una posición y vendrá dada por el trabajo necesario para llevar la partícula desde la posición de equilibrio hasta el punto de elongación y.

Por ello el valor de la energía potencial en una posición x vendrá dado por la expresión

Ep = 1/2 k x^2

Teniendo en cuenta que la energía mecánica es la suma de la energía potencial más la energía cinética, nos encontramos que la energía mecánica de una partícula que describe un m.a.s. será:

E_total = 1/2 K x^2 + 1/2 K (A^2-x^2) = 1/2 KA^2

E = 1/2 k A^2

En el m.a.s. la energía mecánica permanece constante si no hay rozamiento, por ello su amplitud permanece también constante.

Descripción del M.A.S. relacionándolo con un movimiento circular uniforme.

En este apartado, vamos a interpretar geométricamente el Movimiento Armónico Simple (M. A. S.), relacionándolo con el movimiento circular uniforme.

En la figura, se observa la interpretación de un M.A.S. como proyección sobre el eje X, del extremo de un vector rotatorio de longitud igual a la amplitud A, que gira con velocidad angular w igual a la frecuencia angular del M.A.S, en el sentido contrario a las agujas del reloj. Dicha proyección vale

El ángulo ω t +φ que forma el vector rotatorio con el eje de las X se denomina fase del movimiento. El ánguloφque forma en el instante t=0, se denomina fase inicial

USO DE FASORES PARA LA SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.

La corriente alterna se suele representar con un vector girando a la velocidad angular ω. Este vector recibe el nombre de fasor. Su longitud coincide con el valor máximo de la tensión o corriente (según sea la magnitud que se esté representando). El ángulo sobre el eje horizontal representa la fase. La velocidad de giro ω está relacionada con la frecuencia de la señal.

En corriente alterna se da que en muchas ocasiones, las tensiones y corrientes presentan desfasajes entre sí (distintas fases en un determinado momento). En los diagramas fasoriales esto se representa con un ángulo entre los fasores.

Los fasores pueden representarse mediante números complejos, teniendo una componente real y otra imaginaria. Si únicamente queremos representar una señal alterna sin importar su fase respecto de otra podemos considerarla formada únicamente por una parte real y sin parte imaginaria. En este caso el ángulo es cero. Si en cambio nos interesa el ángulo de fase (normalmente cuando lo estamos comparando con otro fasor) lo indicamos según corresponda.

El igual que en los números

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