Calculo De Derivadas

Cálculo de derivadas: Reglas de derivación

Sean a, b y k constantes (números reales) y consideremos u y v como funciones.

Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada de la función lineal

Derivada de una potencia

Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de una raíz de índice k

Operaciones con derivadas

Derivada de una suma

Derivada de una constante por una función

Derivada de un producto

Derivada de una constante partida por una función

Derivada de un cociente

Derivadas exponenciales

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

Ejemplos de derivadas exponenciales

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Derivación de logaritmos

Derivada de un logaritmo

Como , también se puede expresar así:

Derivada de un logaritmo neperiano

Ejemplos de derivadas logarítmicas

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:

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Derivadas trigonométricas

Derivada del seno

Derivada del coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante

Ejemplos de derivadas trigonométricas

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Derivadas trigonométricas inversas

Derivada del arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Ejemplos de derivadas trigonométricas inversas

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Derivada de la función compuesta: Regla de la cadena

Ejemplos de derivadas compuestas

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Derivada de la función inversa

Si f y g son funciones inversas, es decir . Entonces

Ejemplos:

Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc sen x

Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc tg x

Derivada de la función potencial-exponencial

Estas funciones son del tipo:

Para derivarla se puede utilizar esta fórmula:

O bien tomamos logaritmos y derivamos:

.

.

.

.

.

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Ejemplos:

Derivar tomando logaritmos:

.

.

.

.

Derivadas sucesivas

Si derivamos la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x).

Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x).

Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f'v y así sucesivamente.

Ejemplos:

Calcula las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª de:

Derivada enésima

En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general para cualquiera de las derivadas sucesivas (y para todas ellas). Esta fórmula recibe el nombre de derivada enésima, f'n(x).

Ejemplo:

Calcula la derivada enésima de:

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Derivación implícita

Funciones implícitas

Una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

x'=1.

En general y'≠1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Ejemplos

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:

Ejemplo:

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Diferencial de una función

Sea f(x) una función derivable. La Diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) • h. Se representa por dy.

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable.

Ejemplos:

Calcular la diferencial de las funciones:

Ejemplo:

Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 1mm su lado. S = x 2 dS = 2x dx

d(S)= 2•2• 0.001 = 0.004 m2

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