Calculo De Derivadas

CÁLCULO DE DERIVADAS ( I )

Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Derivada de la función lineal mx + b

Sea una función lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x,

lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.

Derivada de una constante por una función, k • f(x)

Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k • f(x) será:

Se ha demostrado que (k • f(x))' = k • f'(x) Así, para derivar una expresión de la forma

k • f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.

Derivada de la función potencia xm (m un número natural)

Para calcular la derivada de la función f(x) = xm, m > 0, hay que evaluar el cociente

Tomando límites cuando h --> 0,

sumandos tiende a cero (su límite es cero).

Se concluye que

Ejercicio: cálculo de derivadas

Calcular la derivada de f(x) = x2 en el punto de abscisa - 1.

Resolución:

f '(x) = 2 • x2 - 1 = 2 x

f '(- 1) = 2 • (- 1) = - 2

Entonces, la pendiente de la tangente a la parábola y = x2 en x = - 1 es - 2.

Derivadas de las funciones trigonométricas sen x y cos x

La derivada de la función f(x) = sen x es f '(x) = cos x

La derivada de la función g(x) = cos x es g '(x) = - sen x

Si necesitas las demostraciones dímelo.

Derivada de la función logaritmo neperiano ln |x|

Puesto que el logaritmo está definido sólo para valores positivos y distintos de cero, es necesario considerar el logaritmo del valor absoluto de x.

Para calcular la derivada de esta función se han de considerar dos casos, x > 0 y x < 0:

a) Si x es positivo, aun tomando h negativo, x + h es positivo si se toman valores de h suficientemente pequeños, lo cual es posible pues se va a calcular el límite cuando h tiende a cero. En estas condiciones

Por tanto, si x > 0

b) Si x es negativo, aun tomando h positivo y suficientemente pequeño, x + h sigue siendo negativo y |x + h| = - (x + h) y |x| = - x.

Como se aprecia, se llega a la misma expresión que en el caso anterior y la demostración se continuaría de forma idéntica.

Derivadas de las funciónes exponenciales ax y ex

Sea la función y = ax, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:

y

...