Calculo Integral

CONSTANTE DE INTEGRACIÓN

Precisando la integración es la operación opuesta a la diferenciación. Al encontrar la derivada encontramos la pendiente de la función dada. Cuando integramos encontramos un conjunto de funciones que hacen valida esaderivada, pero como tú sabes al tener varias pendientes es posible desplazarlas arriba o abajo en el planocartesiano.

La constante de integración es precisamente ese valor que se agrega a la función que la desplaza en losejes cartesianos. Por ejemplo la integral de 0 seria esa constante K cuyo valor se determina dados loslimites superiores e inferiores de la integral, siendo el conjunto de funciones cuya pendiente sea 0.

La constante de integración (c), se le pone a todas las integrales indefinidas, ya que hay una infinidad defunciones que tienen la misma derivada, puesto que sólo varían en una constante. Por ejemplo:derivada de x²= 2xderivada de x² - 17= 2xderivada de x² + ê= 2x,y así sucesivamente. Si te das cuenta, las funciones son diferentes, sin embargo tienen la misma derivada; por lo que al integrar las derivadas (diferenciales más bien), es necesario agregarle la constante de integración c, pues en una integral indefinida no se sabe cuál es la constante original de la función.La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez que se ha encontrado una primitiva

 F , si se lesuma o resta una constante C, se obtiene otra primitiva.

Esto ocurre porque (F +C ) ' =F' +C ' =F' +0=F'.

La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.Para interpretar el significado de la constante de integración se puede observar el hecho de que la función

f (x)sea la derivada de otra función F (x ) quiere decir que para cada valor de x, f(x) le asigna la pendiente de F (x). Si se dibuja en cada punto (x,y) del plano cartesiano un pequeño segmento con pendiente f(x), se obtiene uncampo vectorial como el que se representa en la figura de la

derecha. Entonces el problema de encontrar una función

F(x) tal que su derivada sea la función f(x) se convierte en el problema de encontrar una función dela gráfica de la cual, en todos los puntos sea tangente a los vectores del campo. En la figura de la derecha seobserva como al variar la constante de integración se obtienen diversas funciones que cumplen esta condicióny son traslaciones verticales unas de otras.

En gral la constante de integracion (o sea la constante que obtenes sumada cuando terminas de integrar unaexpresion) es lo q se dice una variable "arbitraria", por que anda como cualquier valor real.... no se si meexplico.Si nosotros tomamos la expresion resultante de la integracion y la derivamos (si, tambien derivamos esaconstante) vamos a obtener un resultado que es igual a la expresion que tenia la integral en si comoargumento, sin importa qué constante C pusimos sumada cuando derivamos.Hay ocaciones sin embargo en que es necesario determinar un valor para esa constante C, por ejemplo enCircuitos y Electricidad se dice que la carga C debe ser continua en funcion del tiempo, si tenemos una valorinicial de corriente I (I = dC/dt) debemos hacer que la integral de la carga coincida con ese valor de corriente,cuando igualemos la constante C tendra sólo un valor, y es el que coincida con el necesario para hacer valeresa igualdad...

Necesidad de la constante

A primera vista puede parecer que la constante es innecesaria, puesto que se puede considerar cero. Además, al evaluar integarles indefinidas empleando el teorema fundamental del cálculo, la constante siempre se anulará. Pero intentar igualar la constante a cero no siempre tiene sentido. Por ejemplo, 2sin(x)cos(x) se puede integrar de dos maneras diferentes:

Por lo tanto, al considerar C como nula aún quedaría una constante. Esto significa que, para una función dada, no hay ninguna antiderivada "más simple".

Otro problema con igualar C a cero es que a veces se quiere hallar una primitiva que tiene un valor dado en un punto dado. Por ejemplo, para obtener la primitiva de cos(x) que tiene el valor 100 enx = π sólo hay un valor válido de C (en este caso C = 100).

Esta restricción se puede reformular en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Encontrar una integral indefinida de una función f(x) es lo mismo que resolver la ecuación diferencial dy/dx = f(x). Cualquier ecuación diferencial tiene muchas soluciones, y cada constante representa la solución única de un problema de valor inicial muy definido. Imponer la condición de que la primitiva tome el valor 100 en x = π es una condición inicial. Cada condición inicial corresponde a un único valor de C, de modo que sin C sería imposible resolver el problema.

Hay otra justificación, que viene del álgebra abstracta. El espacio de todas las funciones reales sobre el conjunto de los núeros reales (adecuadas) es un espacio vectorial, y el operador diferencial

d/dx es un operador lineal. El operador d/dx hace corresponder una función a cero si y sólo si la función es constante. Consecuentemente, el núcleo de d/dx es el espacio

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