Calculo Integral
Enviado por aberknot • 10 de Febrero de 2013 • 2.453 Palabras (10 Páginas) • 401 Visitas
INTEGRACION
El problema del área. Dada una función f que es continua y no negativa en un intervalo [a,b], encontrar el área entre la grafica de f , y el intervalo [a,b] sobre el eje x.
Generalmente, si f(k) es una función de k , y a y b son enteros tal que a ≤b entonces
∑_(k=a)^b▒〖f(k)〗 (1)
Denota la suma de los términos que resultan cuando para sustituir los enteros sucesivos k, comienza con k = a y termina en k = b
EJEMPLO 1
∑_(k=4)^8▒〖k^3=4^3+5^3+6^3+7^3+8^3 〗
∑_(k=1)^3▒k sen(kπ/5)=sen π/5+2 sen 2π/5+3 sen 3π/5
Los números a y b en (1) se llaman, respectivamente, los límites inferior y superior de la sumatoria, y la letra k se llama el índice de la suma.
PROPIEDADES DE LA NOTACION SIGMA
Las siguientes propiedades de la notación sigma nos ayudará a manipular sumas.
TEOREMA
∑_(k=1)^n▒〖(a_k+b_k )=∑_(k=1)^n▒〖a_k+〗〗 ∑_(k=1)^n▒b_k
∑_(k=1)^n▒〖(a_k-b_k )=∑_(k=1)^n▒〖a_k-〗〗 ∑_(k=1)^n▒b_k
∑_(k=1)^n▒〖ca_k=c∑_(k=1)^n▒a_k 〗
SUMATORIAS
Las siguientes fórmulas se utilizarán más adelante;
a)
∑_(k=1)^n▒〖k=1+2+3+⋯+n=(n(n+1))/2〗
b)
∑_(k=1)^n▒〖k^2=1^2+2^2+3^2+⋯+n^2=(n(n+1)(2n+1))/6〗
c)
∑_(k=1)^n▒〖k^3=1^3+2^3+3^3+⋯+n^3=[n(n+1)/2]^2 〗
EJEMPLO. Hallar
∑_(k=1)^30▒〖k(k+1)〗
Solución
∑_(k=1)^30▒〖k(k+1)〗=∑_(k=1)^30▒〖(k^2+k)=∑_(k=1)^30▒k^2 +〗 ∑_(k=1)^30▒k
=(30(31)(61))/6+(30(31))/2=9920
PROBLEMA. Encontrar el área de la región acotada sobre "X", a los lados por las rectas x = a y x = b, y por debajo de una curva y = f (x), donde f es continua en [a,b] y f(x)≥0 para todo x en (a,b).
ÁREAS COMO LÍMITES UTILIZANDO RECTÁNGULOS INSCRITOS
Elija un entero positivo arbitrario n y divida el intervalo [a,b] en n subintervalos de anchura (b-a) / n mediante la introducción de puntos
x_(1 ),x_2,…,x_(n-1)
Igualmente espaciados entre a y b. Después trazar líneas verticales a través de los puntos a,x_(1 ),x_2,…,x_(n-1) ,b, dividir la región R en n rectángulos de ancho uniforme. Si aproximamos a cada una de estas tiras por rectángulos inscritos bajo la curva y = f (x), entonces la Unión.
De estos rectángulos forma una región R_n la cual podemos ver como una aproximación a toda la región R. El área de esta región de aproximación se puede calcular mediante la suma de las áreas de sus rectángulos componentes.
Además, incrementamos a n, el ancho de los rectángulos se hará más pequeño, de modo que la aproximación de R a R_nse mejore, como los rectángulos mas pequeños llenan más los huecos bajo la curva.
Así podemos definir el área exacta de R como el límite de las aéreas de las regiones de aproximación cuando n va a +∞, es decir,
A=area (R)= lim┬(n→+∞)〖[area(R_n )]〗
Si denotamos las alturas de los rectángulos inscritos por h_1,h_2,…,h_n y usamos el hecho que cada rectángulo tiene una base de longitud (b-a)/n, entonces;
area(R_n )=h_1∙(b-a)/n+h_2∙(b-a)/n+⋯+h_n∙(b-a)/n
Como se asume que f es continua sobre [a,b], esto sigue de el Teorema de Valor-Extremo, en el que la f asume un valor mínimo en cada uno de los n subintervalos cerrados.
[a,x_1 ],[x_1,x_2 ],…,[x_(n-1,) b]
Si estos valores mínimos se producen en los puntos, c_1,c_2,…,c_n entonces las alturas de los rectángulos inscritos son
h_1=f(c_1 ),h_2=f(c_2 ),… ,h_n=f(c_n )
Entonces la ecuación
área(R_n )=h_1∙(b-a)/n+h_2∙(b-a)/n+⋯+h_n∙(b-a)/n
puede ser escribirse;
area (R_n )=f(c_1 ) . (b-a)/n+f(c_2)∙(b-a)/n+⋯+ f(c_n)∙(b-a)/n
Por último, será útil escribir
∆x=(b-a)/n
Para la dimensión de la base de los rectángulos, de modo que
area (R_n )=f(c_1)∙(b-a)/n+f(c_2)∙(b-a)/n+⋯+ f(c_n)∙(b-a)/n
se convierte en
area (R_n )=f(c_1)∙∆x+f(c_2)∙∆x+⋯+ f(c_n)∙∆x
O, en notación sigma
area (R_n )= ∑_(k=1)^n▒〖f(c_k)∙∆x〗
Con esta notación la ecuación A=area (R)= lim┬(n→+∞)〖[area(R_n )]〗 se transforma,
A= lim┬(n→+∞) ∑_(k=1)^n▒〖f(c_k)∙∆x〗
Ejemplo 1. Use rectángulos inscritos para
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