Calculo Integral

INTEGRACION

El problema del área. Dada una función f que es continua y no negativa en un intervalo [a,b], encontrar el área entre la grafica de f , y el intervalo [a,b] sobre el eje x.

Generalmente, si f(k) es una función de k , y a y b son enteros tal que a ≤b entonces

∑_(k=a)^b▒〖f(k)〗 (1)

Denota la suma de los términos que resultan cuando para sustituir los enteros sucesivos k, comienza con k = a y termina en k = b

EJEMPLO 1

∑_(k=4)^8▒〖k^3=4^3+5^3+6^3+7^3+8^3 〗

∑_(k=1)^3▒k sen(kπ/5)=sen π/5+2 sen 2π/5+3 sen 3π/5

Los números a y b en (1) se llaman, respectivamente, los límites inferior y superior de la sumatoria, y la letra k se llama el índice de la suma. 

PROPIEDADES DE LA NOTACION SIGMA

Las siguientes propiedades de la notación sigma nos ayudará a manipular sumas.

TEOREMA

∑_(k=1)^n▒〖(a_k+b_k )=∑_(k=1)^n▒〖a_k+〗〗 ∑_(k=1)^n▒b_k

∑_(k=1)^n▒〖(a_k-b_k )=∑_(k=1)^n▒〖a_k-〗〗 ∑_(k=1)^n▒b_k

∑_(k=1)^n▒〖ca_k=c∑_(k=1)^n▒a_k 〗

SUMATORIAS

Las siguientes fórmulas se utilizarán más adelante;

a)

∑_(k=1)^n▒〖k=1+2+3+⋯+n=(n(n+1))/2〗

b)

∑_(k=1)^n▒〖k^2=1^2+2^2+3^2+⋯+n^2=(n(n+1)(2n+1))/6〗

c)

∑_(k=1)^n▒〖k^3=1^3+2^3+3^3+⋯+n^3=[n(n+1)/2]^2 〗

EJEMPLO. Hallar

∑_(k=1)^30▒〖k(k+1)〗

Solución

∑_(k=1)^30▒〖k(k+1)〗=∑_(k=1)^30▒〖(k^2+k)=∑_(k=1)^30▒k^2 +〗 ∑_(k=1)^30▒k

=(30(31)(61))/6+(30(31))/2=9920

PROBLEMA. Encontrar el área de la región acotada sobre "X", a los lados por las rectas x = a y x = b, y por debajo de una curva y = f (x), donde f es continua en [a,b] y f(x)≥0 para todo x en (a,b).

ÁREAS COMO LÍMITES UTILIZANDO RECTÁNGULOS INSCRITOS

Elija un entero positivo arbitrario n y divida el intervalo [a,b] en n subintervalos de anchura (b-a) / n mediante la introducción de puntos

x_(1 ),x_2,…,x_(n-1)

Igualmente espaciados entre a y b. Después trazar líneas verticales a través de los puntos a,x_(1 ),x_2,…,x_(n-1) ,b, dividir la región R en n rectángulos de ancho uniforme. Si aproximamos a cada una de estas tiras por rectángulos inscritos bajo la curva y = f (x), entonces la Unión.

De estos rectángulos forma una región R_n la cual podemos ver como una aproximación a toda la región R. El área de esta región de aproximación se puede calcular mediante la suma de las áreas de sus rectángulos componentes.

Además, incrementamos a n, el ancho de los rectángulos se hará más pequeño, de modo que la aproximación de R a R_nse mejore, como los rectángulos mas pequeños llenan más los huecos bajo la curva.

Así podemos definir el área exacta de R como el límite de las aéreas de las regiones de aproximación cuando n va a +∞, es decir,

A=area (R)= lim┬(n→+∞)⁡〖[area(R_n )]〗

Si denotamos las alturas de los rectángulos inscritos por h_1,h_2,…,h_n y usamos el hecho que cada rectángulo tiene una base de longitud (b-a)/n, entonces;

area(R_n )=h_1∙(b-a)/n+h_2∙(b-a)/n+⋯+h_n∙(b-a)/n

Como se asume que f es continua sobre [a,b], esto sigue de el Teorema de Valor-Extremo, en el que la f asume un valor mínimo en cada uno de los n subintervalos cerrados.

[a,x_1 ],[x_1,x_2 ],…,[x_(n-1,) b]

Si estos valores mínimos se producen en los puntos, c_1,c_2,…,c_n entonces las alturas de los rectángulos inscritos son

h_1=f(c_1 ),h_2=f(c_2 ),… ,h_n=f(c_n )

Entonces la ecuación

área(R_n )=h_1∙(b-a)/n+h_2∙(b-a)/n+⋯+h_n∙(b-a)/n

puede ser escribirse;

area (R_n )=f(c_1 ) . (b-a)/n+f(c_2)∙(b-a)/n+⋯+ f(c_n)∙(b-a)/n

Por último, será útil escribir

∆x=(b-a)/n

Para la dimensión de la base de los rectángulos, de modo que

area (R_n )=f(c_1)∙(b-a)/n+f(c_2)∙(b-a)/n+⋯+ f(c_n)∙(b-a)/n

se convierte en

area (R_n )=f(c_1)∙∆x+f(c_2)∙∆x+⋯+ f(c_n)∙∆x

O, en notación sigma

area (R_n )= ∑_(k=1)^n▒〖f(c_k)∙∆x〗

Con esta notación la ecuación A=area (R)= lim┬(n→+∞)⁡〖[area(R_n )]〗 se transforma,

A= lim┬(n→+∞) ∑_(k=1)^n▒〖f(c_k)∙∆x〗

Ejemplo 1. Use rectángulos inscritos para encontrar el área bajo la recta y = x en el intervalo [1,2]

Solución. Si subdivide el intervalo [1,2] en n partes iguales, cada parte tendrá longitud.

∆x=(b-a)/n=(2-1)/n=1/n

Y los puntos de subdivisión serán,

x_1=1+∆x=1+1/n

x_2=1+2∆x=1+2/n

x_3=1+3∆x=1+3/n

⋮

x_(n-1)=1+(n-1)∆x=1+(n-1)/n

Dado que y = f (x) = x es creciente, el valor mínimo de f (x) en cada subintervalo se encuentra en el punto extremo izquierdo (figura anterior), por lo que

c_1=1

c_2=x_1=1+1/n

c_3=x_2=1+2/n

c_4=x_3=1+3/n

⋮

c_n=x_(n-1)=1+(n-1)/n

De este modo, las áreas de los rectángulos son

f(c_1 )∙∆x=f(c_1)∙∆x=1∙1/n

f(c_2 )∙∆x=〖f(c〗_2)∙∆x=(1+1/n)∙1/n

f(c_3 )∙∆x=〖f(c〗_3)∙∆x=(1+2/n)∙1/n

f(c_4 )∙∆x=f(c_4)∙∆x=(1+3/n)∙1/n

⋮

f(c_n )∙∆x=f(c_n)∙∆x=(1+(n-1)/n)∙1/n

Y la suma es

∑_(k=1)^n▒〖f(c_k)∙∆x〗=

=[1+(1+1/n)+(1+2/n)+(1+3/n)+⋯+(1+(n-1)/n)].1/n

=[n+(1/n+2/n+3/n+⋯+(n-1)/n)].1/n

=1+1/n^2 [1+2+3+⋯+(n-1)]

=1+1/n^2 .((n-1)(n))/2

=3/2-1/2n

Por lo tanto, de A= lim┬(n→+∞) ∑_(k=1)^n▒〖f(c_k)∆x〗 el área es

A= lim┬(n→+∞) ∑_(k=1)^n▒〖f(c_k)∆x〗=lim┬(n→+∞) (3/2-1/2n)=3/2-0=3/2

Ejemplo 2. Use rectángulos inscritos para encontrar el área bajo la curva

y = 9-x^2 en el intervalo [0,3].

Solución. Si dividimos el intervalo [0,3] en n subintervalos de igual longitud, entonces cada subintervalo tendrá longitud.

∆x=(b-a)/n=(3-0)/n=3/n

Y los puntos de subdivisión serian.

x_1=0+∆x=3/n

x_2=0+2∆x=2(3/n)

x_3=0+3∆x=3(3/n)

⋮

x_(n-1)=0+(n-1)∆x=(n-1)(3/n)

En corto, c_k=k.(3/n) para k=1,2,…,n. por lo tanto, el k-esimo rectángulo inscrito tiene área,

∑_(k=1)^n▒〖f(c_k ).∆x=[9-k^2 (9/n^2 )]∙3/n=27/n-(27k^2)/n^3 〗

Y la suma de todas estas áreas es,

∑_(k=1)^n▒〖f(c_k).∆x=∑_(k=1)^n▒(27/n-(27k^2)/n^3 ) =∑_(k=1)^n▒27/n-〗 ∑_(k=1)^n▒(27k^2)/n^3

=n.27/n-27/n^3 ∑_(k=1)^n▒〖k^2=27〗-27/n^3 ∙ (n(n+1)(2n+1))/6

A=lim┬(n→+∞)⁡∑_(k=1)^n▒〖f(c_k).∆x=lim┬(n→+∞) [27-27/n^3 ∙(n(n+1)(2n+1))/6] 〗

=27-lim┬(n→+∞) 27/6 (1+1/n)(2+1/n)=27-27/6 (1)(2)=18

Áreas como límites utilizando rectángulos circunscritos

De hecho, si los valores máximos de f (x) en los distintos subíntervalos se encuentran en los puntos d_1,d_2,…,d_n entonces la suma

∑_(k=1)^n▒〖f(d_k)∙∆x〗

Es una aproximación por rectángulos circunscritos al área bajo la curva, y el área exacta A es

A= lim┬(n→∞)⁡〖∑_(k=1)^n▒〖f(d_k )∙∆x〗 〗

EJERCICIO. Utilice rectángulos circunscritos para encontrar el área bajo la línea y = x en el intervalo [1,2].

CONJUNTO DE EJERCICIOS DE EJERCICIOS

PAGINA 331

Divida el intervalo [a,b] en n=4 subintervalos de igual longitud y calcule:

a) la suma de las areas de los rectángulos inscritos .

b) la suma de las areas de los rectángulos circuinscritos.

1. y=3x+1; a=2,b=6

2.y=cosx; a=-π/2,b=π/2

Usar rectángulos inscritos para encontrar el área bajo la curva y=f(x) sobre el intervalo [a,b] .

1. y=1/2 x ; a=1, b=4.

2. y=x^2; a=0, b=1.

3. y=4-〖1/4 x〗^2; a=2 b=6.

Usar rectángulos circunscritos para encontrar el area de la región del ejercicio anterior.

DEFINICION DE AREA

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