Calculo Unidad 1

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

FASE 1

Resolver los siguientes límites:

1.

〖〖lim〗┬(X→2) 〗⁡〖(X^2-X-2)/(X^2-5X+6)〗 〖 lim┬(X→2) 〗⁡〖(2^2-2-2 )/(2^2-5(2)+6)〗 〖 lim┬(X→2) 〗⁡〖(4-2-2 )/(4-10+6)〗 = 0/0 Indeterminación

Eliminamos la indeterminación factor izando el trinomio tanto el divisor como el numerador.

X^2-X-2 = (x-2)(x+1)

Donde dos números que sumados de -1 y que multiplicados de -2.

X^2-5X+6=(x-3)(x-2)

Donde dos números que sumados de -5 y que multiplicados de 6.

Entonces:

〖〖lim〗┬(X→2) 〗⁡〖((x-2)(x+1))/((x-3)(x-2))〗 Simplificamos

〖〖lim〗┬(X→2) 〗⁡〖((x+1))/((x-3) )〗 Remplazamos ((2+1))/((2-3) )= 3/(-1)= -3

〖〖lim〗┬(X→2) 〗⁡〖(X^2-X-2)/(X^2-5X+6)〗= -3

2. 〖lim〗┬(x→0)⁡〖(√(9+x )-3)/x〗

Para eliminar el radical se racionaliza la expresión la cual se hace multiplicando y dividiendo la expresión por el conjugado de dicha expresión.

lim┬(x→0)⁡〖(√(9+x )-3)/x〗 〖 = 〗⁡〖((√(9+x )-3)(√(9+x )+3))/(x (√(9+x )+3))〗

Multiplicamos término con término

((9+x)+ 3√(9+x )-3√(9+x)-9)/(x (√(9+x )+3))

Simplificamos términos

(9+x-9)/(x (√(9+x )+3))= x/(x (√(9+x )+3))= 1/( (√(9+x )+3))

Reemplazamos

1/( (√(9+0 )+3))= 1/( √(9 )+3)= 1/( 3+3)= 1/6

〖lim〗┬(x→0)⁡〖(√(9+x )-3)/x〗= 1/6

3. 〖lim〗┬(x→-2)⁡〖(3-√(x^2+5))/(3x+6)〗

Para eliminar el radical se racionaliza la expresión la cual se hace multiplicando y dividiendo la expresión por el conjugado de dicha expresión.

(3-√(x^2+5))/(3x+6)* (3+√(x^2+5))/(3+√(x^2+5))

Conjugación da la forma (a-b) (a+b)=a^2- b^2 donde:

(3^2-〖(√(x^2+5) )〗^2)/((3x+6)(3+√(x^2+5) ))=(9-(x^2+5))/((3x+6)(3+√(x^2+5) ))=(9-x^2-5))/((3x+6)(3+√(x^2+5) ))= (4-x^2)/((3x+6)(3+√(x^2+5) ))

Simplificamos

((2+x)(2-x))/(3(x+2)(3+√(x^2+5) ))= (2-x)/(3(3+√(x^2+5) ))

Reemplazamos

(2-(-2))/(3(3+√(〖-2〗^2+5) ))=4/(3(3+√9 ))= 4/(3(3+3 ))=4/(3(6 ))= 4/( 18)= 2/9

〖lim〗┬(x→-2)⁡〖(3-√(x^2+5))/(3x+6)〗=2/9

4. lim┬(h→2b)⁡〖(〖(b+h)〗^2-b^2)/h〗

Reemplazamos

(〖(b+2b)〗^2-b^2)/2b= (〖(3b)〗^2-b^2)/2b=(〖9b〗^2-b^2)/2b=〖8b〗^2/2b=4b

〖lim〗┬(h→2b)⁡〖(〖(b+h)〗^2-b^2)/h〗=4b

FASE 2.

5. 〖lim〗┬(x→0)⁡〖tan⁡7x/sen2x〗

lim┬(x→0)⁡〖tan⁡7x/sen2x〗=tan⁡〖7(0)〗/(sen2(0))=0/0

Indeterminada

Donde: tan⁡〖x=〗 (sen x)/cos⁡x

lim┬(x→0)⁡〖((sen 7x)/cos⁡7x )/(sen2x/1)〗= lim┬(x→0)⁡〖(sen 7x)/(cos7x*sen2x)〗

Decimos que:

lim┬(x→0)⁡〖sen⁡hk/hk〗=1

Entonces para tener esta forma multiplicamos y dividimos:

〖lim┬(x→0) 〗⁡〖(7x*( sen 7x)/7x)/(cos7x*2x*sen2x/2x)〗

Aplicamos la propiedad de los limites que dice que cuando tenemos el límite de una función en este caso que hay un cociente, con productos de expresiones el limite se puede repartir a cada una de las expresiones:

〖 〗⁡〖((lim┬(x→0) 7x)*〖(lim〗┬(x→0) ( sen 7x)/7x) )/((lim┬(x→0) cos7x)*〖(lim〗┬(x→0) 2x)*(lim┬(x→0) sen2x/2x))〗=

Donde:

〖(lim〗┬(x→0) ( sen 7x)/7x)=1

(lim┬(x→0) cos7x)=1

(lim┬(x→0) sen2x/2x)=1

Entonces

(lim┬(x→0) 7x)/(〖(lim〗┬(x→0) 2x))= lim┬(x→0)⁡〖7x/2x〗

Simplificamos x

lim┬(x→0)⁡〖7/2〗 El límite de una función constante es la misma constante. Entonces

〖lim〗┬(x→0)⁡〖tan⁡7x/sen2x〗=7/2

6. 〖lim〗┬(θ→0)⁡〖 (1- cos⁡θ)/θ〗=0

Racionalización a través de la

...