Calculo de volumen para una superficie hidrofoba

Universidad Autónoma de Yucatán

Facultad de Ingeniería

Cálculo Diferencial e Integral II

Proyecto Final Curso Agosto – Diciembre 2018

Integrantes del equipo:

• Arjona Mario
• Canche Daniel
• Cardos Carlos
• Molina Jerónimo
• Montero André
• Pérez Martín
• Puerto Alan
• Vadillo Oswaldo
• Zurita Leonardo

Profesora: Caridad Vales

Fecha de entrega: Diciembre 1 del 2018

Proyecto Final

Introducción

     El humedecimiento de las superficies en la naturaleza ha sido objeto de investigación significativa durante la última década, debido al aumento en el interés de la superhidrofobicidad en el agua. Durante los estudios analizados fue demostrado que un requisito previo para obtener repelencia al agua es tener una cierta rugosidad en la superficie de interés, un fenómeno conocido como efecto de loto. Todo esto se derivada del desarrollo tecnológico que se vive en la actualidad.

En estos tiempos se han tenido informes de diversas fuentes cuyo objetivo es de fabricar exitosamente superficies hidrófobas, dando así algunas maneras posibles para su fabricación, La mayoría de estos implican crear una estructura sobre un material inherentemente hidrófobo, tratar una estructura específica con un revestimiento hidrófobo, utilizando materiales de base polimérica o a través de un sofisticado diseño de superficie (En este trabajo, superficies superhidrofocadas con control, la morfología se fabrica en acero inoxidable utilizando un Proceso de láser de femtosegundo).

Para que se pueda lograr el desarrollo de estas superficies es de suma importancia comprender que la superficie a fabricar es un paraboloide de cierta altura y cuenta con un diámetro de la base que también posee una rugosidad de dos niveles. Es por ello que durante este proyecto se analizará la geometría de una lámina con alta rugosidad. Así como, la morfología de la lámina y la asociación con un patrón de construcción que es un paraboloide, siendo este un micro elemento en la fabricación, todo esto aplicando los conocimientos aprendidos durante la asignatura Cálculo ll como lo son Integrales dobles, triples, fórmula del área superficial, coordenadas cilíndricas entre otros varios recursos obtenidos. Moradi S., Englezos P., Hatzikiriakos S.G. (2013). Contact angle hysteresis: surface morphology effects. Colloid and Polymer Science, 291, 317–328.

Planteamiento del problema

     Se disparó a una lámina de acero inoxidable con un láser para genera paraboloides con un ángulo  en una superficie haciendo que la superficie se vuelva hidrofóbica, es decir que repele el agua que entra en contacto con esta. Se busca calcular los volúmenes de los paraboloides que generan el efecto de repulsión en las gotas de agua, igualmente  el  volumen del agua que se encuentra entre los paraboloides y el que se mantiene en la superficie.

Resolución

     Para comenzar, se tenía que conocer el área de la lámina de la superficie hidrofóbica, sin los paraboloides. Esto se puede hallar multiplicando la base por altura. Continuando con el proceso aritmético, se resta el área de cada una de las bases circulares (cuarenta en total) de cada paraboloide en la lámina, esto debido a que son espacios vacíos.

Para el siguiente paso, calculamos un aproximado del área superficial de un paraboloide, la función del paraboloide se modeló y derivó parcialmente según la fórmula del área superficial

[pic 1]

Después, se tenía que hallar el volumen de una de agua que sobresale de la superficie de entre los paraboloides, considerando ciertos valores conocidos como: , ángulo de contacto aparente es de , considerando una gota de perfil esférico con radio de curvatura de [pic 2][pic 3][pic 4]

Considerando todo lo anterior, hacemos una triple integral con respecto a la función de la gota (conociendo que es una esfera). Para esto hay que definir los límites de integración de la región. Tenemos que tener presente que el centro de la esfera no se haya sobre la lámina si no un poco más arriba y para poder definir correctamente la región a integrar hay que conocer ese valor. Entonces lo primero que hay que hacer es conocer la altura a la que se encuentra el centro de la  esfera, que será la diferencia de la altura del paraboloide y la región comprendida entre el ángulo y la hipotenusa (el radio de la esfera). Ya conociendo el valor tenemos los siguientes límites de integración.

[pic 5]

Y resolviendo la integral, obtenemos el volumen del agua que sobresale de los paraboloides.

Para el siguiente paso tenemos que hallar el agua que está comprendida entre la lámina y la altura de los paraboloides, que se hace usando la misma integral pero modificando los límites de integración de la segunda integral, esta ya no iría de cero a dieciséis si no de cero  

[pic 6]

Y para calcular el área total solamente sumamos los valores antes obtenidos.

Para finalizar, se tuvo que hacer un cálculo aproximado del área total de las bases de los paraboloides que están comprendidos en la sección transversal que corta exactamente a la mitad a la esfera. Para eso, calculamos todos al tanteo, y definimos dos integrales para conocer el área de los círculos que se encuentran cortando el eje x y al eje y.

[pic 7]

Y por último, conocemos las áreas de los paraboloides en cuarta parte de la región del círculo, por lo tanto, multiplicamos ese valor por cuatro. Después el número de paraboloides es multiplicado por su volumen y ya obtenemos el volumen total de paraboloides en la gota, para saber el volumen sin los paraboloides, tenemos que hacer una resta de el volumen que abarca la gota hasta la altura de un paraboloide menos el volumen que ocupan los paraboloides y así sabemos  el volumen total de agua depositada.

Análisis

     Inicialmente determinamos que el área superficial a encontrar estaba compuesta por:

• El área de un rectángulo
• Menos la base de los paraboloides
• Más el área superficial de los paraboloides

Por lo cual procedimos al cálculo correspondiente usando la fórmula de área superficial, necesaria para el área del paraboloide.

El ejercicio también planteaba la obtención del volumen de agua que que se encontraba sobre los paraboloides. Para esto, fue necesario comprender que la “esfera” que formaba la gota de agua estaba desplazada hacia arriba, por encima de la lámina, por lo que era necesario tomar en cuenta el desplazamiento para poder plantear la ecuación a integrar y así obtener dicho volumen. Una vez planteada la ecuación (en coordenadas cilíndricas) , definimos los límites e integramos para hallar el volumen.

Posteriormente procedimos a obtener el volumen de agua entre los paraboloides, para ello calculamos el volumen de agua en un cuadrante que había entre el plano y la altura máxima de los paraboloides, suponiendo que no existían dichos paraboloides, esto nos generó una integral. Después calculamos el volumen que ocupaban los paraboloides en un cuadrante, esto mediante aproximaciones, es decir, tuvimos que suponer que porcentaje de paraboloide se encontraba dentro del cuadrante, ya que conocer a exactitud esa proporción es todo un reto. Ya teniendo ambos volúmenes simplemente procedimos a restar al volumen de agua, calculado al inicio, con el volumen que ocupaban los paraboloides; como se trataba de una figura simétrica se multiplicó esta cantidad por cuatro, para tener el volumen total de agua entre los paraboloides.

Más adelante para calcular el volumen total de agua depositado, al ya conocer el volumen de agua tanto sobre los paraboloides, como entre los mismos, procedimos a sumar dichos volúmenes para conocer el volumen total de agua.

Por último, asumiendo que se trataba de una superficie superhidrofóbica, donde el agua se mantenía sobre la estructura de paraboloides y con un perfil esférico, procedimos al cálculo del radio, el cual obtuvimos de la fórmula del volumen de una esfera, ya que el volumen de agua  era conocido.

Aplicaciones

     Al realizar esta práctica se observó una de las aplicaciones de las integrales dobles que fué en el cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio, que es un ejemplo de utilidad en la que nos pueden ayudar  al momento de ejercer nuestra profesión y como estudiantes. Las aplicaciones de las integrales dobles, se pueden enfocar en aplicaciones geométricas y físicas.

En el primer grupo se encuentran el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio como se mencionó previamente. En la ingeniería esto último tiene mucha aplicación ya que constantemente se van elaborando diseños nuevos que van desde la construcción de edificios, el diseño de transportes, la fabricación de componentes y muchas otras más, que con la ayuda de las integrales se puede saber de una manera más directa las dimensiones requeridas para poder optimizar los resultados deseados.

...